强化学习中的分布强化学习：考虑动作结果的概率分布

介绍

大家好，欢迎来到今天的讲座！今天我们要聊的是强化学习（Reinforcement Learning, RL）中一个非常有趣的话题——分布强化学习（Distributional Reinforcement Learning）。我们知道，传统的强化学习算法通常只关心动作的期望回报，而忽略了回报的分布信息。但有时候，了解回报的分布比只知道期望值更有用。想象一下，如果你是一个投资者，你会更关心投资回报的期望值，还是它的波动性和风险呢？显然，后者更为重要。

分布强化学习就是为了解决这个问题而诞生的。它不仅关注动作的期望回报，还考虑了回报的概率分布。通过这种方式，我们可以更好地理解环境的不确定性，并做出更明智的决策。

传统强化学习 vs 分布强化学习

在传统的强化学习中，我们通常使用价值函数（如Q函数）来估计某个状态下采取某个动作的期望回报。比如，Q-learning的目标是找到最优的Q值，使得：

[
Q(s, a) = mathbb{E}[Rt + gamma R{t+1} + gamma^2 R_{t+2} + cdots | s_t = s, a_t = a]
]

这里的( mathbb{E} )表示期望值，( R_t )是时间步( t )的即时奖励，( gamma )是折扣因子。这个公式告诉我们，Q值是未来所有奖励的加权和的期望值。

然而，这种做法有一个问题：它只考虑了期望值，而忽略了回报的分布。这意味着，如果我们有两个动作，它们的期望回报相同，但其中一个动作的回报波动很大，另一个动作的回报非常稳定，传统的Q-learning无法区分这两个动作。

分布强化学习则不同。它试图建模整个回报分布，而不仅仅是期望值。具体来说，分布强化学习的目标是学习一个分布函数 ( Z(s, a) )，它描述了在状态 ( s ) 下采取动作 ( a ) 后，未来回报的分布情况。这样一来，我们可以不仅仅知道“平均”会发生什么，还能了解可能发生的各种情况及其概率。

分布强化学习的基本思想

分布强化学习的核心思想是将传统的标量值Q函数扩展为一个分布函数。假设我们有一个离散的动作空间，每个动作对应的回报不再是单一的数值，而是一个随机变量 ( Z(s, a) )，它描述了该动作的回报分布。

为了实现这一点，我们可以使用一种称为 C51 的算法。C51 是分布强化学习中最著名的算法之一，它通过将回报分布离散化为一组固定的原子（atoms），并学习这些原子的概率分布来实现分布强化学习。

C51 算法简介

C51 的基本思想是将回报分布离散化为一组固定的支持点（support points），然后学习每个支持点的概率。具体来说，C51 使用一个神经网络来输出一个向量，表示每个支持点的概率分布。

假设我们有 ( N ) 个支持点，记作 ( z_1, z_2, dots, z_N )，其中 ( z_i ) 是第 ( i ) 个支持点的值。C51 的目标是学习一个分布 ( Z(s, a) )，使得对于每个支持点 ( z_i )，我们都有一个对应的概率 ( p_i(s, a) )，满足：

[
sum_{i=1}^N p_i(s, a) = 1
]

换句话说，C51 将回报分布建模为一个离散的概率分布，而不是一个单一的期望值。

C51 的训练过程

C51 的训练过程与传统的Q-learning类似，但有一些关键的区别。在每一步，C51 都会根据当前的状态和动作，预测未来的回报分布，而不是仅仅预测期望回报。具体来说，C51 的损失函数可以写成：

[
L(theta) = mathbb{E}{s, a, r, s’} left[ sum{i=1}^N left( T_z – z_i right)^2 cdot p_i(s, a) right]
]

其中，( T_z ) 是目标分布，它是通过贝尔曼方程递归计算得到的。具体来说，目标分布 ( T_z ) 是根据下一个状态 ( s’ ) 和最大Q值对应的动作 ( a’ ) 计算出来的。

C51 的代码实现

下面是一个简单的C51算法的PyTorch实现示例：

import torch
import torch.nn as nn
import torch.optim as optim
import numpy as np

class CategoricalDQN(nn.Module):
    def __init__(self, num_inputs, num_actions, num_atoms, Vmin, Vmax):
        super(CategoricalDQN, self).__init__()
        self.num_atoms = num_atoms
        self.Vmin = Vmin
        self.Vmax = Vmax
        self.support = torch.linspace(Vmin, Vmax, num_atoms)
        self.net = nn.Sequential(
            nn.Linear(num_inputs, 128),
            nn.ReLU(),
            nn.Linear(128, 128),
            nn.ReLU(),
            nn.Linear(128, num_actions * num_atoms)
        )

    def forward(self, x):
        out = self.net(x)
        return out.view(out.size(0), -1, self.num_atoms)

    def act(self, state):
        state = torch.FloatTensor(state).unsqueeze(0)
        dist = self.forward(state).exp()
        dist = dist / dist.sum(dim=-1, keepdim=True)
        q_values = (dist * self.support).sum(dim=-1)
        return q_values.argmax().item()

def projection_distribution(next_dist, rewards, dones):
    batch_size = next_dist.size(0)
    delta_z = (Vmax - Vmin) / (num_atoms - 1)
    support = torch.linspace(Vmin, Vmax, num_atoms)

    Tz = rewards.unsqueeze(1) + (1 - dones.unsqueeze(1)) * gamma * support.unsqueeze(0)
    Tz = Tz.clamp(min=Vmin, max=Vmax)
    b = (Tz - Vmin) / delta_z
    l = b.floor().long()
    u = b.ceil().long()

    offset = torch.linspace(0, (batch_size - 1) * num_atoms, batch_size).unsqueeze(1).expand(batch_size, num_atoms).long()
    proj_dist = torch.zeros(next_dist.size())

    proj_dist.view(-1).index_add_(0, (l + offset).view(-1), (next_dist * (u.float() - b)).view(-1))
    proj_dist.view(-1).index_add_(0, (u + offset).view(-1), (next_dist * (b - l.float())).view(-1))

    return proj_dist

# Hyperparameters
num_atoms = 51
Vmin = -10
Vmax = 10
gamma = 0.99

# Initialize networks
current_model = CategoricalDQN(num_inputs, num_actions, num_atoms, Vmin, Vmax)
target_model = CategoricalDQN(num_inputs, num_actions, num_atoms, Vmin, Vmax)
target_model.load_state_dict(current_model.state_dict())

optimizer = optim.Adam(current_model.parameters(), lr=0.0001)

# Training loop
for episode in range(num_episodes):
    state = env.reset()
    for step in range(max_steps):
        action = current_model.act(state)
        next_state, reward, done, _ = env.step(action)

        # Compute target distribution
        next_dist = target_model(next_state).detach()
        next_action = next_dist.sum(dim=2).argmax(dim=1)
        next_dist = next_dist[range(batch_size), next_action]

        target_dist = projection_distribution(next_dist, reward, done)

        # Compute loss and update model
        dist = current_model(state)
        log_p = torch.log(dist[range(batch_size), action])
        loss = -(target_dist * log_p).sum(1).mean()

        optimizer.zero_grad()
        loss.backward()
        optimizer.step()

        state = next_state

        if done:
            break

分布强化学习的优势

那么，分布强化学习到底有哪些优势呢？让我们来看看一些关键的好处：

更好的探索能力：由于分布强化学习考虑了回报的分布，它可以帮助代理更好地理解环境的不确定性。这使得代理能够在不确定的情况下进行更有效的探索，而不是仅仅依赖于期望值。
更稳定的训练：分布强化学习通过建模回报的分布，减少了训练过程中对异常值的敏感性。这使得训练过程更加稳定，尤其是在复杂环境中。
更好的泛化能力：由于分布强化学习考虑了回报的分布，它可以帮助代理更好地适应不同的环境条件。例如，在某些情况下，代理可能会遇到与训练时不同的回报分布，分布强化学习可以帮助代理更好地应对这些变化。
更好的风险管理：在某些应用中，了解回报的分布比只知道期望值更为重要。例如，在金融领域，了解投资回报的分布可以帮助我们更好地管理风险。分布强化学习为我们提供了一种工具，可以更全面地理解回报的不确定性。

总结

今天，我们探讨了分布强化学习的基本概念和原理，并介绍了C51算法作为分布强化学习的一个典型例子。通过将回报分布纳入模型，分布强化学习能够帮助我们在不确定的环境中做出更明智的决策。希望今天的讲座能让你对分布强化学习有一个更深入的理解！

如果你对这个话题感兴趣，不妨尝试自己实现一个分布强化学习算法，或者阅读更多相关的技术文档，比如《Deep Reinforcement Learning: An Overview》或《A Distributional Perspective on Reinforcement Learning》。这些文献提供了更多的理论背景和技术细节，值得一看。

谢谢大家的聆听！如果有任何问题，欢迎随时提问！