深度学习中的近似二阶优化：Kronecker分解与低秩近似在Hessian计算中的应用 大家好，今天我们来探讨深度学习中一个重要的优化课题：近似二阶优化，以及其中两种关键技术：Kronecker分解和低秩近似在Hessian矩阵计算中的应用。 1. 为什么需要二阶优化？ 深度学习模型训练的核心是优化问题，即寻找使损失函数最小化的参数组合。一阶优化算法，如梯度下降及其变种（SGD、Adam等），通过计算损失函数对参数的梯度来更新参数。这些方法简单有效，但存在一些固有的局限性： 学习率敏感： 学习率的选择对收敛速度和最终性能影响很大。过大的学习率可能导致震荡，过小的学习率则收敛缓慢。 局部极小值/鞍点问题： 在高维非凸优化问题中，局部极小值和鞍点普遍存在。一阶优化算法容易陷入这些点，难以找到全局最优解。 收敛速度慢： 尤其是在损失函数曲率变化剧烈的情况下，一阶优化算法收敛速度会显著下降。 二阶优化算法，如牛顿法，利用损失函数的二阶导数（Hessian矩阵）来更精确地估计目标函数的曲率信息，从而能够更有效地更新参数，克服上述局限性。 牛顿更新公式如下： θ_(t+1) = θ_t ̵ …
Python中的高维曲率信息近似：Kronecker分解与低秩近似在二阶优化中的应用
Python中的高维曲率信息近似：Kronecker分解与低秩近似在二阶优化中的应用 大家好，今天我们来探讨一个在深度学习和大规模优化中非常重要的主题：如何近似高维曲率信息，特别是利用Kronecker分解和低秩近似来加速二阶优化算法。在深度学习模型变得越来越复杂，数据规模越来越庞大的今天，有效的优化算法至关重要。二阶优化算法，例如牛顿法及其变体，因其能够提供更快的收敛速度而备受关注。然而，直接计算和存储Hessian矩阵（或其近似）对于高维模型来说是极其困难的。因此，我们需要巧妙的方法来近似曲率信息，并在计算资源有限的情况下实现高效的优化。 1. 二阶优化算法的困境与曲率信息的重要性 在深入研究近似方法之前，我们先来回顾一下二阶优化算法面临的挑战，以及曲率信息在其中的作用。 一阶优化算法，如梯度下降法，依赖于目标函数的一阶导数（梯度）来更新模型参数。虽然简单易实现，但其收敛速度相对较慢，尤其是在病态曲率的情况下。病态曲率指的是目标函数在不同方向上的曲率差异很大，导致梯度下降法在某些方向上进展缓慢，甚至出现锯齿形震荡。 二阶优化算法，如牛顿法，利用目标函数的二阶导数（Hessian矩阵 …