强化学习基础：马尔科夫决策过程(MDP)介绍
欢迎来到强化学习的奇妙世界！
大家好！今天我们要聊的是强化学习中一个非常重要的概念——马尔科夫决策过程（MDP）。如果你已经对强化学习有所了解，那么你一定知道，MDP是强化学习的核心框架之一。它帮助我们理解智能体如何在环境中做出决策，并通过与环境的互动来最大化某种奖励。
为了让大家更好地理解MDP，我会用一些轻松的语言和代码示例来解释这个概念。准备好了吗？让我们开始吧！
1. 什么是马尔科夫决策过程？
简单来说，马尔科夫决策过程是一种数学模型，用于描述智能体在不确定环境中做出决策的过程。它假设环境的状态和动作之间存在某种概率关系，并且智能体的目标是通过选择合适的动作来最大化长期累积的奖励。
MDP的核心思想是：当前的状态包含了所有未来决策所需的信息。换句话说，未来的状态只依赖于当前的状态和采取的动作，而与过去的历史无关。这种特性被称为马尔科夫性。
MDP的五个要素
一个完整的MDP可以由以下五个要素组成：
- 状态集 ( S )：表示智能体在环境中可能处于的所有状态。
- 动作集 ( A )：表示智能体可以采取的所有动作。
- 转移概率 ( P(s’ | s, a) )：表示在状态 ( s ) 下采取动作 ( a ) 后，转移到状态 ( s’ ) 的概率。
- 奖励函数 ( R(s, a, s’) )：表示在状态 ( s ) 下采取动作 ( a ) 并转移到状态 ( s’ ) 时获得的即时奖励。
- 折扣因子 ( gamma )：表示未来奖励的重要性。通常 ( 0 < gamma < 1 )，越接近 1 表示对未来奖励的重视程度越高。
举个例子
想象一下你在玩一个简单的游戏，游戏中有一个迷宫，你控制一个小机器人在迷宫中移动。迷宫中的每个房间都是一个状态，你可以选择向左、向右、向上或向下移动，这些就是你的动作。每次你移动到一个新的房间，可能会得到一些分数（奖励），也可能什么都没有。这就是一个典型的MDP场景！
2. 状态转移概率
在MDP中，状态之间的转移并不是确定的，而是带有一定的随机性。也就是说，当你在某个状态下采取某个动作时，你并不一定能准确预测下一次会到达哪个状态。这种不确定性是由状态转移概率 ( P(s’ | s, a) ) 来描述的。
举个例子，假设你在迷宫中的某个房间里，可以选择向左或向右移动。向左移动有80%的概率进入左边的房间，20%的概率留在原地；向右移动则有70%的概率进入右边的房间，30%的概率留在原地。这就是状态转移概率的具体体现。
我们可以用一个表格来表示这些概率：
| 当前状态 ( s ) | 动作 ( a ) | 下一状态 ( s’ ) | 转移概率 ( P(s’ | s, a) ) |
|---|---|---|---|---|
| 房间1 | 向左 | 房间2 | 0.8 | |
| 房间1 | 向左 | 房间1 | 0.2 | |
| 房间1 | 向右 | 房间3 | 0.7 | |
| 房间1 | 向右 | 房间1 | 0.3 |
3. 奖励函数
奖励函数 ( R(s, a, s’) ) 是MDP中的另一个重要组成部分。它定义了智能体在每个状态下采取某个动作并转移到下一个状态时所获得的即时奖励。奖励可以是正数（表示好的结果），也可以是负数（表示不好的结果），甚至可以是零（表示没有特别的影响）。
继续以迷宫为例，假设你每进入一个新的房间都会获得1分，但如果进入了死胡同，则会失去2分。这就是奖励函数的作用。
我们同样可以用表格来表示奖励函数：
| 当前状态 ( s ) | 动作 ( a ) | 下一状态 ( s’ ) | 奖励 ( R(s, a, s’) ) |
|---|---|---|---|
| 房间1 | 向左 | 房间2 | 1 |
| 房间1 | 向左 | 房间1 | 0 |
| 房间1 | 向右 | 房间3 | 1 |
| 房间1 | 向右 | 房间1 | 0 |
| 死胡同 | 任何动作 | 任何状态 | -2 |
4. 折扣因子 ( gamma )
折扣因子 ( gamma ) 是用来调整未来奖励的重要性的参数。它的取值范围是 ( 0 < gamma < 1 )，并且越接近1，表示对未来奖励的重视程度越高；越接近0，表示更关注眼前的即时奖励。
为什么需要折扣因子呢？因为在未来的时间点上，奖励的不确定性更大，而且计算未来的奖励也会涉及到更多的状态转移。因此，通过引入折扣因子，我们可以让智能体更加注重眼前的奖励，同时也不会完全忽视未来的潜在收益。
举个例子，假设你有两个选择：
- 选择A：立即获得10分。
- 选择B：等待10步后获得20分。
如果你的折扣因子 ( gamma = 0.9 )，那么选择B的实际价值为 ( 20 times 0.9^{10} approx 7.17 )，远低于选择A的10分。因此，智能体可能会更倾向于选择A。
5. 价值函数与策略
在MDP中，我们通常关心两个问题：
- 价值函数：给定一个策略，智能体在某个状态下能够获得的期望累积奖励是多少？
- 策略：智能体应该如何选择动作，才能最大化长期累积的奖励？
价值函数
价值函数 ( V(s) ) 表示智能体从当前状态 ( s ) 开始，按照某个策略行动时，能够获得的期望累积奖励。它是衡量状态好坏的一个标准。
对于给定的策略 ( pi )，价值函数可以通过以下公式递归地定义：
[
V^pi(s) = sum{a in A} pi(a | s) left( sum{s’ in S} P(s’ | s, a) left[ R(s, a, s’) + gamma V^pi(s’) right] right)
]
这个公式的意思是：在状态 ( s ) 下，根据策略 ( pi ) 选择动作 ( a )，然后根据转移概率 ( P(s’ | s, a) ) 计算转移到下一状态 ( s’ ) 的概率，并加上该状态下的即时奖励 ( R(s, a, s’) ) 和未来状态的价值 ( V^pi(s’) )。
策略
策略 ( pi ) 是一个映射，它告诉智能体在每个状态下应该选择哪个动作。策略可以是确定性的（即每个状态下只选择一个动作），也可以是随机性的（即每个状态下按一定概率选择多个动作）。
我们的目标是找到一个最优策略 ( pi^* )，使得智能体在所有状态下都能获得最大的期望累积奖励。最优策略可以通过求解贝尔曼最优方程来获得：
[
V^(s) = maxa left( sum{s’ in S} P(s’ | s, a) left[ R(s, a, s’) + gamma V^(s’) right] right)
]
6. 代码实现
为了让大家更好地理解MDP，我们可以通过Python代码来实现一个简单的MDP模拟。假设我们有一个迷宫环境，智能体可以在其中移动并获得奖励。我们将使用动态规划算法来求解最优策略。
import numpy as np
# 定义状态集、动作集和转移概率
states = ['room1', 'room2', 'room3', 'dead_end']
actions = ['left', 'right']
# 转移概率矩阵 P(s' | s, a)
P = {
('room1', 'left'): {'room2': 0.8, 'room1': 0.2},
('room1', 'right'): {'room3': 0.7, 'room1': 0.3},
('room2', 'left'): {'room1': 1.0},
('room2', 'right'): {'room3': 1.0},
('room3', 'left'): {'room2': 1.0},
('room3', 'right'): {'room1': 1.0},
('dead_end', 'left'): {'dead_end': 1.0},
('dead_end', 'right'): {'dead_end': 1.0}
}
# 奖励函数 R(s, a, s')
R = {
('room1', 'left', 'room2'): 1,
('room1', 'left', 'room1'): 0,
('room1', 'right', 'room3'): 1,
('room1', 'right', 'room1'): 0,
('room2', 'left', 'room1'): 1,
('room2', 'right', 'room3'): 1,
('room3', 'left', 'room2'): 1,
('room3', 'right', 'room1'): 1,
('dead_end', 'left', 'dead_end'): -2,
('dead_end', 'right', 'dead_end'): -2
}
# 初始化价值函数 V(s)
V = {state: 0 for state in states}
gamma = 0.9 # 折扣因子
# 动态规划求解最优价值函数
for _ in range(100): # 迭代次数
new_V = {}
for s in states:
max_value = float('-inf')
for a in actions:
value = 0
for s_prime in P[(s, a)]:
prob = P[(s, a)][s_prime]
reward = R.get((s, a, s_prime), 0)
value += prob * (reward + gamma * V[s_prime])
max_value = max(max_value, value)
new_V[s] = max_value
V = new_V
# 输出最优价值函数
print("Optimal Value Function:")
for s in states:
print(f"V({s}) = {V[s]:.2f}")这段代码实现了动态规划算法，用于求解最优价值函数。通过迭代更新价值函数，最终我们可以得到每个状态下的最优期望累积奖励。
7. 总结
今天我们学习了马尔科夫决策过程（MDP）的基本概念，包括状态、动作、转移概率、奖励函数和折扣因子。我们还介绍了如何通过价值函数和策略来评估和优化智能体的行为。最后，我们通过一个简单的Python代码示例展示了如何求解最优价值函数。
希望这篇文章能帮助你更好地理解MDP在强化学习中的作用。如果你有任何问题或想法，欢迎随时交流！下次见！
