符号回归（Symbolic Regression）与LLM：从数据中发现物理公式与数学定律

各位听众，大家好！今天我们来探讨一个非常有趣且充满挑战的领域：符号回归，以及大型语言模型（LLM）如何革新这个领域。符号回归的目标是从观测数据中自动发现数学公式和物理定律，这听起来像科幻小说，但在机器学习和人工智能的进步下，它正逐渐变为现实。

符号回归：定义与挑战

符号回归是一种机器学习技术，旨在寻找最能拟合给定数据集的数学表达式。与传统的回归方法（如线性回归、多项式回归）不同，符号回归不预先设定模型的结构，而是允许模型自由探索各种可能的数学函数组合，例如加法、减法、乘法、除法、指数、对数、三角函数等。

更正式的定义：

给定数据集 ${(x_i, yi)}{i=1}^n$，符号回归的目标是找到一个函数 $f(x)$，使得 $f(x_i) approx y_i$ 对所有 $i$ 成立，同时 $f(x)$ 的形式（即数学表达式）是未知的，需要算法自行发现。

符号回归面临的挑战：

搜索空间巨大： 可能的数学表达式的数量是无限的。函数、运算符、常数的组合方式非常多，导致搜索空间呈指数级增长。
计算复杂度高： 评估一个数学表达式的拟合程度需要计算其在所有数据点上的输出，并与真实值进行比较。这在计算上非常昂贵，尤其是在处理复杂表达式和大型数据集时。
过拟合风险： 符号回归容易生成过于复杂的表达式，从而过度拟合训练数据，导致泛化能力差。
局部最优解： 传统的优化算法容易陷入局部最优解，难以找到全局最优的表达式。
可解释性： 虽然符号回归的目的是找到可解释的数学公式，但某些情况下，算法生成的表达式可能过于复杂，难以理解。

传统的符号回归方法：遗传算法

传统的符号回归方法主要依赖于遗传算法（Genetic Algorithm, GA）。遗传算法是一种模拟生物进化过程的优化算法，通过选择、交叉、变异等操作，逐步进化出更优的数学表达式。

遗传算法在符号回归中的应用：

个体表示： 每个数学表达式被编码为一个“个体”，通常使用树结构表示。树的节点可以是运算符（如 +, -, *, /, sin, cos），叶子节点可以是变量（如 x, y, z）或常数。
初始化： 随机生成一组初始个体，形成初始种群。
适应度评估： 计算每个个体的适应度，即它拟合数据的程度。常用的适应度函数是均方误差（Mean Squared Error, MSE）：

$MSE = frac{1}{n} sum_{i=1}^n (f(x_i) – y_i)^2$

适应度越高（MSE越低），个体越优秀。
选择： 根据适应度选择优秀的个体，作为下一代种群的父母。常用的选择方法包括轮盘赌选择、锦标赛选择等。
交叉： 将两个父母个体的部分基因（子树）进行交换，生成新的子代个体。
变异： 对个体的某些基因进行随机修改，例如改变运算符、变量或常数。
重复迭代： 重复执行选择、交叉、变异操作，直到满足停止条件（例如达到最大迭代次数或找到满意的解）。

Python 代码示例 (使用 gplearn 库)：

import numpy as np
from gplearn.genetic import SymbolicRegressor
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.metrics import mean_squared_error

# 1. 生成模拟数据
np.random.seed(0)
X = np.random.uniform(-10, 10, size=(100, 1))  # 单变量
y = X[:, 0]**2 + 3*X[:, 0] + 2 + np.random.normal(0, 1, size=100) # y = x^2 + 3x + 2 + noise

# 2. 划分训练集和测试集
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.2, random_state=42)

# 3. 初始化 SymbolicRegressor
est_gp = SymbolicRegressor(population_size=500,
                         generations=20,
                         tournament_size=20,
                         stopping_criteria=0.01,
                         p_crossover=0.7,
                         p_subtree_mutation=0.1,
                         p_hoist_mutation=0.05,
                         p_point_mutation=0.1,
                         max_samples=0.9,
                         verbose=1,
                         parsimony_coefficient=0.01,
                         random_state=0)

# 4. 训练模型
est_gp.fit(X_train, y_train)

# 5. 打印发现的公式
print(est_gp._program)

# 6. 在测试集上评估
y_pred = est_gp.predict(X_test)
mse = mean_squared_error(y_test, y_pred)
print(f"Mean Squared Error on Test Set: {mse}")

代码解释：

我们使用 gplearn 库来实现符号回归。gplearn 是一个专门用于符号回归的 Python 库，它基于遗传算法。
我们首先生成了一些模拟数据，其中 y = x^2 + 3x + 2 + noise。
然后，我们初始化 SymbolicRegressor 对象，并设置了一些参数，例如种群大小、迭代次数、交叉概率、变异概率等。
fit 方法用于训练模型。
_program 属性保存了发现的公式。
最后，我们在测试集上评估模型的性能，并打印均方误差。

局限性：

尽管遗传算法在符号回归中得到广泛应用，但它也存在一些局限性：

计算成本高： 遗传算法需要评估大量个体，计算成本非常高。
收敛速度慢： 遗传算法的收敛速度通常较慢，尤其是在处理复杂问题时。
容易陷入局部最优解： 遗传算法容易陷入局部最优解，难以找到全局最优的表达式。
需要手动调整参数： 遗传算法有很多参数需要手动调整，例如种群大小、迭代次数、交叉概率、变异概率等。参数的选择对算法的性能有很大影响。

LLM 如何革新符号回归

大型语言模型 (LLM) 的出现为符号回归带来了新的可能性。LLM 具有强大的语言理解和生成能力，可以用于生成、评估和优化数学表达式。

LLM 在符号回归中的应用：

表达式生成： LLM 可以生成各种各样的数学表达式，而不仅仅局限于遗传算法可以生成的表达式。通过训练 LLM，使其能够根据给定的数据集生成可能的函数形式。可以提示 LLM 生成符合特定物理定律或数学规则的表达式。

例如，可以提示 LLM：“生成一个关于变量 x 和 t 的表达式，它描述了一个简谐振动。” LLM 可能会生成 A*cos(omega*t + phi)。
表达式评估： LLM 可以用于评估数学表达式的拟合程度。可以将 LLM 作为一种“智能的”适应度函数，它可以考虑表达式的简洁性、可解释性以及拟合数据的程度。

例如，可以使用 LLM 来判断一个表达式是否符合奥卡姆剃刀原则（Occam’s Razor），即在所有可能解释中，最简单的那个往往是最正确的。
表达式优化： LLM 可以用于优化数学表达式。通过训练 LLM，使其能够根据给定的数据集和目标函数，对表达式进行逐步优化。例如，可以使用 LLM 来简化表达式、消除冗余项、提高拟合精度等。
约束条件集成： LLM 可以轻松地集成约束条件，例如物理定律或数学定理。这有助于生成更符合实际情况的表达式。例如，可以告诉 LLM：“生成的表达式必须满足能量守恒定律。”
知识迁移： LLM 可以利用其在大量文本数据上学习到的知识，进行知识迁移。例如，如果 LLM 已经学习了很多关于物理学的知识，那么它可以更容易地发现物理公式。

基于 LLM 的符号回归方法：

目前，基于 LLM 的符号回归方法主要有以下几种：

基于提示的符号回归： 使用提示工程（Prompt Engineering）来引导 LLM 生成符合要求的表达式。例如，可以设计一个提示，告诉 LLM 数据集的特征、目标函数的性质以及约束条件。
基于微调的符号回归： 使用符号回归数据集对 LLM 进行微调，使其能够更好地生成和评估数学表达式。
结合遗传算法和 LLM 的符号回归： 将遗传算法和 LLM 结合起来，利用遗传算法的搜索能力和 LLM 的语言理解能力，共同完成符号回归任务。例如，可以使用遗传算法生成初始种群，然后使用 LLM 对个体进行评估和优化。

Python 代码示例 (使用 OpenAI API 和 sympy 库):

import openai
import sympy
from sklearn.metrics import mean_squared_error
import numpy as np

# 1. 设置 OpenAI API 密钥
openai.api_key = "YOUR_OPENAI_API_KEY"  # 替换成你的 API 密钥

# 2. 生成模拟数据
np.random.seed(0)
X = np.random.uniform(-10, 10, size=(100, 1))  # 单变量
y = X[:, 0]**2 + 3*X[:, 0] + 2 + np.random.normal(0, 1, size=100) # y = x^2 + 3x + 2 + noise

# 3. 定义提示
prompt = f"""
你是一个符号回归专家。给定以下数据点 (x, y)，找到一个最能拟合这些数据的数学表达式。表达式应该尽可能简洁。
数据点：
"""
for i in range(len(X)):
    prompt += f"({X[i, 0]}, {y[i]})n"

prompt += """
请生成一个数学表达式来描述这些数据点之间的关系。使用 x 作为变量。
表达式：
"""

# 4. 调用 OpenAI API
response = openai.Completion.create(
    engine="text-davinci-003",  # 选择合适的模型
    prompt=prompt,
    max_tokens=100,
    n=1,
    stop=None,
    temperature=0.5,  # 控制生成结果的随机性
)

# 5. 解析 LLM 生成的表达式
expression = response.choices[0].text.strip()
print(f"LLM 生成的表达式: {expression}")

# 6. 使用 sympy 将字符串表达式转换为 sympy 表达式
x = sympy.Symbol('x')
try:
    sympy_expression = sympy.sympify(expression)
except (SyntaxError, TypeError) as e:
    print(f"解析表达式失败: {e}")
    sympy_expression = None

# 7. 评估表达式
if sympy_expression:
    # 将 sympy 表达式转换为 numpy 函数
    f = sympy.lambdify(x, sympy_expression, modules=['numpy'])

    # 计算预测值
    y_pred = f(X[:, 0])

    # 计算均方误差
    mse = mean_squared_error(y, y_pred)
    print(f"均方误差: {mse}")
else:
    print("无法评估表达式")

代码解释：

我们使用 OpenAI API 来调用 LLM。你需要替换 "YOUR_OPENAI_API_KEY" 为你自己的 API 密钥。
我们定义了一个提示，告诉 LLM 我们的目标是找到一个最能拟合给定数据的数学表达式。
我们调用 OpenAI API，并将提示传递给 LLM。
我们解析 LLM 生成的表达式，并使用 sympy 库将其转换为 sympy 表达式。
我们使用 sympy.lambdify 将 sympy 表达式转换为 numpy 函数，以便我们可以用它来计算预测值。
最后，我们计算均方误差，并打印结果。

局限性：

基于 LLM 的符号回归方法也存在一些局限性：

依赖于 LLM 的能力： LLM 的性能对符号回归的结果有很大影响。如果 LLM 的能力不足，那么它可能无法生成正确的表达式。
提示工程的挑战： 如何设计有效的提示是一个挑战。好的提示可以引导 LLM 生成更好的结果，而坏的提示可能会导致 LLM 生成无意义的表达式。
计算成本高： 调用 LLM API 需要消耗计算资源，尤其是在处理大型数据集时。
可解释性问题： 尽管 LLM 可以生成可解释的表达式，但有时它也可能生成过于复杂的表达式，难以理解。

案例分析：发现物理公式

我们来看一个案例，演示如何使用 LLM 发现物理公式。假设我们有一组数据，描述了一个自由落体的物体的高度随时间的变化。

时间 (t)	高度 (h)
0	100
1	95.1
2	80.4
3	55.9
4	21.6

我们可以使用以下提示来引导 LLM 发现自由落体公式：

你是一位物理学家。给定一组数据，描述了一个自由落体的物体的高度 (h) 随时间 (t) 的变化。
数据：
(0, 100)
(1, 95.1)
(2, 80.4)
(3, 55.9)
(4, 21.6)

请根据这些数据，推导出高度 h 和时间 t 之间的关系式。考虑到物理定律，表达式中可能包含重力加速度 g。
表达式：

LLM 可能会生成以下表达式：

h = 100 - 0.5 * g * t^2

如果我们知道重力加速度 g 的值约为 9.8 m/s^2，那么我们可以将 g 的值代入表达式，得到：

h = 100 - 4.9 * t^2

这个公式非常接近自由落体公式 h = h0 - 0.5 * g * t^2，其中 h0 是初始高度。

未来展望

符号回归是一个充满潜力的领域，它可以帮助我们自动发现数学公式和物理定律。随着 LLM 的不断发展，基于 LLM 的符号回归方法将越来越受到关注。

未来的发展方向：

更强大的 LLM： 随着 LLM 的规模和能力的不断提升，它们将能够更好地理解和生成数学表达式。
更有效的提示工程： 研究人员将开发出更有效的提示工程技术，以引导 LLM 生成更准确、更简洁的表达式。
更智能的评估函数： LLM 可以用于构建更智能的评估函数，它可以考虑表达式的简洁性、可解释性以及拟合数据的程度。
更广泛的应用： 符号回归将在更多领域得到应用，例如物理学、化学、生物学、工程学等。

符号回归与LLM的结合，将使我们能够更高效地探索科学规律，加速科学发现的进程。

总结：探索公式的未来

今天我们探讨了符号回归以及 LLM 如何革新这个领域。从遗传算法的局限性到 LLM 强大的语言理解和生成能力，我们看到了符号回归的未来方向。虽然挑战依然存在，但 LLM 为我们提供了一个全新的工具，可以帮助我们自动发现数学公式和物理定律，加速科学发现的进程。