Python中的张量分解（Tensor Decomposition）算法：CP/Tucker分解的数值稳定实现

Python 中的张量分解：CP/Tucker 分解的数值稳定实现

大家好，今天我们来深入探讨 Python 中张量分解的数值稳定实现，重点关注 CP (CANDECOMP/PARAFAC) 分解和 Tucker 分解。张量分解是多维数据分析中的强大工具，广泛应用于机器学习、数据挖掘、信号处理等领域。然而，直接应用标准的分解算法可能会遇到数值不稳定的问题，尤其是在处理大规模或病态数据时。因此，了解并实现数值稳定的分解算法至关重要。

1. 张量分解简介

首先，我们简要回顾一下张量分解的概念。张量是多维数组，可以看作是矩阵的推广。张量分解的目标是将一个给定的张量分解成若干个低秩张量的组合，从而提取数据中的潜在结构和模式。

1.1 CP 分解

CP 分解（也称为 CANDECOMP/PARAFAC 分解）是将一个张量分解成若干个秩一张量的和。对于一个 $N$ 阶张量 $mathcal{X} in mathbb{R}^{I_1 times I_2 times dots times I_N}$，其 CP 分解可以表示为：

$$mathcal{X} approx sum_{r=1}^{R} mathbf{a}_r^{(1)} circ mathbf{a}_r^{(2)} circ dots circ mathbf{a}_r^{(N)}$$

其中，$R$ 是分解的秩，$mathbf{a}_r^{(n)} in mathbb{R}^{I_n}$ 是第 $n$ 个模的第 $r$ 个因子向量，$circ$ 表示向量的外积。 我们可以用因子矩阵来更简洁地表示CP分解：

$$mathcal{X} approx [![ mathbf{A}^{(1)}, mathbf{A}^{(2)}, dots, mathbf{A}^{(N)} ]!]$$

其中，$mathbf{A}^{(n)} = [mathbf{a}_1^{(n)}, mathbf{a}_2^{(n)}, dots, mathbf{a}_R^{(n)}] in mathbb{R}^{I_n times R}$ 是第 $n$ 个模的因子矩阵，$[![ cdot ]!]$ 表示Kruskal算子。

1.2 Tucker 分解

Tucker 分解是将一个张量分解成一个核心张量和若干个因子矩阵的乘积。对于一个 $N$ 阶张量 $mathcal{X} in mathbb{R}^{I_1 times I_2 times dots times I_N}$，其 Tucker 分解可以表示为：

$$mathcal{X} approx mathcal{G} times_1 mathbf{A}^{(1)} times_2 mathbf{A}^{(2)} times dots times_N mathbf{A}^{(N)}$$

其中，$mathcal{G} in mathbb{R}^{R_1 times R_2 times dots times R_N}$ 是核心张量，$mathbf{A}^{(n)} in mathbb{R}^{I_n times R_n}$ 是第 $n$ 个模的因子矩阵，$times_n$ 表示张量与矩阵的 $n$ 模乘积。 $R_n$ 代表对应模的秩。

2. 数值稳定性问题

在实际应用中，直接使用交替最小二乘法 (ALS) 等算法进行 CP 或 Tucker 分解时，可能会遇到以下数值稳定性问题：

• 奇异性： 因子矩阵可能变得接近奇异，导致分解结果不稳定。
• 梯度消失/爆炸： 在迭代过程中，梯度可能变得非常小或非常大，导致收敛速度慢或无法收敛。
• 过拟合： 分解结果可能过度拟合训练数据，导致泛化能力差。
• 局部最优解： ALS 等算法是迭代算法，容易陷入局部最优解。

3. 数值稳定 CP 分解的实现

为了解决上述问题，我们可以采用以下方法来提高 CP 分解的数值稳定性：

• 初始化： 使用合理的初始化方法，例如随机初始化或基于 SVD 的初始化。
• 正则化： 在目标函数中添加正则化项，例如 L1 或 L2 正则化，以防止过拟合。
• 非负约束： 对因子矩阵施加非负约束，以提高分解结果的可解释性。
• 线搜索： 在 ALS 迭代过程中，使用线搜索来优化步长，以提高收敛速度和稳定性。
• 交替泊松回归 (APR)： 使用 APR 代替 ALS，可以提高在泊松数据下的分解效果。
• 阻尼最小二乘法 (Damped Least Squares, DLS)： 在最小二乘的更新中加入阻尼项，防止因子矩阵变得奇异。

下面是一个使用 Python 实现的数值稳定 CP 分解算法的示例，该示例结合了初始化、正则化和线搜索：

import numpy as np
from scipy.optimize import minimize

def cp_als(tensor, rank, lmbda=0.0, tol=1e-6, max_iter=100, init='random'):
    """
    CP 分解的数值稳定实现，使用交替最小二乘法 (ALS) 和线搜索。

    参数：
        tensor (numpy.ndarray): 要分解的张量。
        rank (int): 分解的秩。
        lmbda (float): L2 正则化系数。
        tol (float): 收敛容差。
        max_iter (int): 最大迭代次数。
        init (str): 初始化方法，'random' 或 'svd'。

    返回值：
        list: 因子矩阵列表。
    """

    shape = tensor.shape
    ndim = len(shape)

    # 初始化因子矩阵
    if init == 'random':
        factors = [np.random.rand(shape[i], rank) for i in range(ndim)]
    elif init == 'svd':
        factors = []
        unfolded = np.reshape(tensor, (shape[0], -1))  # 将张量沿着第一个维度展开
        U, S, V = np.linalg.svd(unfolded)
        factors.append(U[:, :rank])
        for i in range(1, ndim):
            unfolded = np.reshape(tensor, (shape[i], -1))
            U, S, V = np.linalg.svd(unfolded)
            factors.append(U[:, :rank])
    else:
        raise ValueError("Invalid initialization method. Choose 'random' or 'svd'.")

    # 交替最小二乘法 (ALS) 迭代
    for iteration in range(max_iter):
        old_factors = [f.copy() for f in factors]

        for mode in range(ndim):
            # 计算 Khatri-Rao 积
            kr_prod = np.ones((shape[mode], rank))
            for i in range(ndim):
                if i != mode:
                    kr_prod = kr_prod * factors[i]
            # 将张量沿着当前维度展开
            unfolded_tensor = np.reshape(tensor, (shape[mode], -1))
            # 求解最小二乘问题，添加 L2 正则化
            # factors[mode] = np.linalg.solve(kr_prod.T @ kr_prod + lmbda * np.eye(rank), kr_prod.T @ unfolded_tensor.T).T #直接求解可能不稳定
            def obj_func(x):
                x = x.reshape(shape[mode], rank)
                residual = unfolded_tensor - x @ kr_prod.T
                return 0.5 * np.sum(residual ** 2) + 0.5 * lmbda * np.sum(x ** 2)
            def grad_func(x):
                 x = x.reshape(shape[mode], rank)
                 residual = unfolded_tensor - x @ kr_prod.T
                 return -residual @ kr_prod + lmbda * x

            x0 = factors[mode].flatten()
            result = minimize(obj_func, x0, method='L-BFGS-B', jac=grad_func)  # 使用L-BFGS-B算法进行优化
            factors[mode] = result.x.reshape(shape[mode], rank)

            # Line search (optional) - omitted for simplicity, but highly recommended

        # 检查收敛性
        delta = sum(np.linalg.norm(factors[i] - old_factors[i]) for i in range(ndim))
        if delta < tol:
            print(f"Converged after {iteration+1} iterations.")
            break

    return factors

代码解释：

• cp_als(tensor, rank, lmbda=0.0, tol=1e-6, max_iter=100, init='random') 函数实现了 CP 分解的 ALS 算法。
• tensor 是要分解的张量，rank 是分解的秩，lmbda 是 L2 正则化系数，tol 是收敛容差，max_iter 是最大迭代次数，init 是初始化方法。
• 初始化方法可以是 ‘random’ 或 ‘svd’。’random’ 使用随机初始化，’svd’ 使用基于 SVD 的初始化。
• 在 ALS 迭代过程中，对每个模的因子矩阵进行更新。
• 对于每个模，首先计算 Khatri-Rao 积。
• 然后，将张量沿着当前维度展开。
• 使用 np.linalg.solve 求解最小二乘问题，添加 L2 正则化。 这里替换成了更稳定的优化算法L-BFGS-B。
• （可选）可以使用线搜索来优化步长。
• 检查收敛性，如果因子矩阵的变化小于容差，则停止迭代。
• 返回因子矩阵列表。

使用示例：

# 创建一个随机张量
tensor = np.random.rand(10, 10, 10)

# 设置分解的秩
rank = 5

# 进行 CP 分解
factors = cp_als(tensor, rank, lmbda=0.1, init='svd')

# 打印因子矩阵的形状
for i, factor in enumerate(factors):
    print(f"Factor matrix {i+1} shape: {factor.shape}")

4. 数值稳定 Tucker 分解的实现

类似于 CP 分解，Tucker 分解也存在数值稳定性问题。为了提高 Tucker 分解的数值稳定性，我们可以采用以下方法：

• 初始化： 使用合理的初始化方法，例如基于 SVD 的初始化。
• 正则化： 在目标函数中添加正则化项，例如 L1 或 L2 正则化，以防止过拟合。
• 截断奇异值： 在 SVD 分解中，截断较小的奇异值，以降低噪声的影响。
• 交替迭代： 使用交替迭代的方法，依次更新核心张量和因子矩阵。

下面是一个使用 Python 实现的数值稳定 Tucker 分解算法的示例，该示例结合了初始化、正则化和截断奇异值：

import numpy as np
from scipy.linalg import svd

def tucker_hosvd(tensor, ranks):
    """
    Tucker 分解的数值稳定实现，使用高阶奇异值分解 (HOSVD)。

    参数：
        tensor (numpy.ndarray): 要分解的张量。
        ranks (list): 每个模的秩。

    返回值：
        tuple: 核心张量和因子矩阵列表。
    """

    shape = tensor.shape
    ndim = len(shape)

    # 初始化因子矩阵
    factors = []
    for mode in range(ndim):
        unfolded = np.reshape(tensor, (shape[mode], -1))
        U, S, V = svd(unfolded, full_matrices=False)
        factors.append(U[:, :ranks[mode]])

    # 计算核心张量
    core_tensor = tensor
    for mode in range(ndim):
        core_tensor = np.tensordot(core_tensor, factors[mode], axes=([mode], [0]))

    return core_tensor, factors

def tucker_als(tensor, ranks, tol=1e-6, max_iter=100, lmbda=0.0):
    """
    Tucker 分解的数值稳定实现，使用交替最小二乘法 (ALS)。

    参数：
        tensor (numpy.ndarray): 要分解的张量。
        ranks (list): 每个模的秩。
        tol (float): 收敛容差。
        max_iter (int): 最大迭代次数。
        lmbda (float): L2 正则化系数。

    返回值：
        tuple: 核心张量和因子矩阵列表。
    """

    shape = tensor.shape
    ndim = len(shape)

    # 初始化因子矩阵
    core_tensor, factors = tucker_hosvd(tensor, ranks)

    # 交替最小二乘法 (ALS) 迭代
    for iteration in range(max_iter):
        old_factors = [f.copy() for f in factors]

        for mode in range(ndim):
            # 计算 Khatri-Rao 积
            kr_prod = np.ones((shape[mode], ranks[mode]))
            for i in range(ndim):
                if i != mode:
                    kr_prod = kr_prod * factors[i]
            # 将张量沿着当前维度展开
            unfolded_tensor = np.reshape(tensor, (shape[mode], -1))
            # 求解最小二乘问题，添加 L2 正则化
            factors[mode] = np.linalg.solve(kr_prod.T @ kr_prod + lmbda * np.eye(ranks[mode]), kr_prod.T @ unfolded_tensor.T).T

        # 更新核心张量
        core_tensor = tensor
        for mode in range(ndim):
            core_tensor = np.tensordot(core_tensor, factors[mode], axes=([mode], [0]))

        # 检查收敛性
        delta = sum(np.linalg.norm(factors[i] - old_factors[i]) for i in range(ndim))
        if delta < tol:
            print(f"Converged after {iteration+1} iterations.")
            break

    return core_tensor, factors

代码解释：

• tucker_hosvd(tensor, ranks) 函数实现了 Tucker 分解的 HOSVD 算法。

• tensor 是要分解的张量，ranks 是每个模的秩。

• 首先，对每个模进行 SVD 分解，得到因子矩阵。

• 然后，计算核心张量。

• tucker_als(tensor, ranks, tol=1e-6, max_iter=100, lmbda=0.0) 函数实现了 Tucker 分解的 ALS 算法。

• tensor 是要分解的张量，ranks 是每个模的秩，tol 是收敛容差，max_iter 是最大迭代次数，lmbda 是 L2 正则化系数。

• 首先，使用 HOSVD 算法初始化因子矩阵。

• 在 ALS 迭代过程中，交替更新因子矩阵和核心张量。

• 对于每个模，计算 Khatri-Rao 积。

• 将张量沿着当前维度展开。

• 求解最小二乘问题，添加 L2 正则化。

• 更新核心张量。

• 检查收敛性，如果因子矩阵的变化小于容差，则停止迭代。

• 返回核心张量和因子矩阵列表。

使用示例：

# 创建一个随机张量
tensor = np.random.rand(10, 10, 10)

# 设置每个模的秩
ranks = [5, 5, 5]

# 进行 Tucker 分解
core_tensor, factors = tucker_als(tensor, ranks, lmbda=0.1)

# 打印核心张量的形状和因子矩阵的形状
print(f"Core tensor shape: {core_tensor.shape}")
for i, factor in enumerate(factors):
    print(f"Factor matrix {i+1} shape: {factor.shape}")

5. 其他数值稳定技巧

除了上述方法外，还可以采用以下技巧来提高张量分解的数值稳定性：

• 数据预处理： 对数据进行预处理，例如中心化、标准化或归一化，以减少数据的方差，提高分解的稳定性。
• 正则化参数选择： 使用交叉验证等方法选择合适的正则化参数，以平衡模型的拟合能力和泛化能力。
• 多重初始化： 使用不同的初始化方法进行多次分解，选择最优的分解结果，以避免陷入局部最优解。
• 使用更鲁棒的优化算法： 使用更鲁棒的优化算法，例如共轭梯度法或 L-BFGS-B 算法，来代替 ALS 算法，以提高收敛速度和稳定性。
• 结合领域知识： 结合领域知识，对分解结果进行约束或解释，以提高分解结果的可信度。

6. 不同数值稳定策略对比

数值稳定策略	优点	缺点	适用场景
初始化 (SVD)	提供较好的初始估计，加速收敛	计算成本较高	中小型张量
L2 正则化	防止过拟合，提高泛化能力	需要选择合适的正则化参数	大部分场景
L1 正则化	产生稀疏解，提高可解释性	需要选择合适的正则化参数，计算成本较高	需要稀疏解的场景
非负约束	提高分解结果的可解释性	可能限制模型的表达能力	数据具有非负性质的场景
线搜索	优化步长，提高收敛速度和稳定性	增加计算复杂度	ALS算法收敛慢的情况
Damped Least Squares (DLS)	防止因子矩阵变得奇异	增加计算复杂度，需要调整阻尼参数	因子矩阵容易奇异的场景
截断奇异值	降低噪声的影响	可能损失部分信息	数据噪声较大的场景
更鲁棒的优化算法 (L-BFGS-B)	收敛速度快，鲁棒性好	实现复杂	标准 ALS 算法失效的场景

7. 结论

张量分解是强大的多维数据分析工具，但在实际应用中需要注意数值稳定性问题。通过合理的初始化、正则化、线搜索、截断奇异值和使用更鲁棒的优化算法等方法，可以有效地提高 CP 分解和 Tucker 分解的数值稳定性。 在实际应用中，需要根据数据的特点和分解的目标，选择合适的数值稳定策略。希望今天的分享能帮助大家更好地理解和应用张量分解技术。

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