标签： 分解

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Python中的张量分解（Tensor Decomposition）算法：CP/Tucker分解的数值稳定实现

Python 中的张量分解：CP/Tucker 分解的数值稳定实现 大家好，今天我们来深入探讨 Python 中张量分解的数值稳定实现，重点关注 CP (CANDECOMP/PARAFAC) 分解和 Tucker 分解。张量分解是多维数据分析中的强大工具，广泛应用于机器学习、数据挖掘、信号处理等领域。然而，直接应用标准的分解算法可能会遇到数值不稳定的问题，尤其是在处理大规模或病态数据时。因此，了解并实现数值稳定的分解算法至关重要。 1. 张量分解简介 首先，我们简要回顾一下张量分解的概念。张量是多维数组，可以看作是矩阵的推广。张量分解的目标是将一个给定的张量分解成若干个低秩张量的组合，从而提取数据中的潜在结构和模式。 1.1 CP 分解 CP 分解（也称为 CANDECOMP/PARAFAC 分解）是将一个张量分解成若干个秩一张量的和。对于一个 $N$ 阶张量 $mathcal{X} in mathbb{R}^{I_1 times I_2 times dots times I_N}$，其 CP 分解可以表示为： $$mathcal{X} approx sum_{r=1}^{R} mat …

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Python中的特征分解与奇异值分解（SVD）：在降维与推荐系统中的底层实现

好的，我们开始今天的讲座。今天的主题是Python中的特征分解与奇异值分解（SVD），以及它们在降维和推荐系统中的底层实现。 1. 线性代数基础回顾 在深入探讨特征分解和SVD之前，我们需要回顾一些线性代数的基础概念。 向量 (Vector): 一个有序的数值列表。在Python中，通常用NumPy数组表示。 矩阵 (Matrix): 一个二维的数值数组。同样，在Python中，也用NumPy数组表示。 转置 (Transpose): 矩阵的行和列互换。 内积 (Dot Product): 两个向量对应元素相乘再求和。 线性无关 (Linear Independence): 一组向量中，没有一个向量可以表示为其他向量的线性组合。 正交 (Orthogonal): 两个向量的内积为零。 正交矩阵 (Orthogonal Matrix): 一个方阵，其列向量是单位正交向量。正交矩阵的转置等于其逆矩阵。 2. 特征分解 (Eigen Decomposition) 特征分解是一种将矩阵分解为一组特征向量和特征值的技术。只有方阵才能进行特征分解。 特征向量 (Eigenvector): 对于给定 …

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Python实现高效的张量分解（Tensor Decomposition）：CP、Tucker分解的算法优化

好的，现在开始。 Python实现高效的张量分解：CP、Tucker分解的算法优化 大家好，今天我们来深入探讨如何在Python中高效地实现张量分解，特别是CP (CANDECOMP/PARAFAC) 分解和Tucker分解。张量分解作为一种强大的多维数据分析工具，在推荐系统、图像处理、信号处理、社交网络分析等领域有着广泛的应用。然而，直接应用标准的分解算法往往面临着计算复杂度高、收敛速度慢等问题。因此，我们将着重讨论算法优化策略，并结合代码示例，帮助大家更好地理解和应用这些技术。 1. 张量分解基础 首先，我们需要对张量分解的基本概念有一个清晰的认识。 张量 (Tensor): 张量是向量和矩阵在高维空间中的推广。一个n阶张量可以看作是一个n维数组。例如，一个标量是0阶张量，一个向量是1阶张量，一个矩阵是2阶张量，一个彩色图像（高度 x 宽度 x RGB通道）可以看作一个3阶张量。 CP分解 (CANDECOMP/PARAFAC): CP分解将一个张量分解为若干个秩-1张量之和。对于一个N阶张量 $mathcal{X} in mathbb{R}^{I_1 times I_2 time …

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如何利用低秩分解技术优化模型训练速度与显存开销

低秩分解优化模型训练：提速与降耗的策略 大家好，今天我们来聊聊如何利用低秩分解技术来优化模型训练，特别是针对训练速度和显存开销这两个关键瓶颈。在深度学习模型日益庞大、数据规模持续增长的背景下，如何在有限的资源下高效训练模型变得至关重要。低秩分解作为一种有效的模型压缩和加速技术，正日益受到关注。 1. 低秩分解的核心思想 低秩分解的核心思想在于：许多高维数据，特别是模型中的参数矩阵，其内在结构往往具有低秩性。这意味着这些矩阵可以通过少数几个重要的潜在因子来近似表示，从而减少参数数量，简化计算复杂度。 更具体地说，一个秩为 r 的矩阵 A (m x n) 可以分解为两个矩阵的乘积： *A ≈ U V** 其中 U 是一个 m x r 的矩阵，V 是一个 r x n 的矩阵，r 远小于 m 和 n。 这样做的好处是，存储 A 需要 m n 个元素，而存储 U 和 V 只需要 m r + r * n 个元素。 当 r 足够小的时候，可以显著减少存储空间。 2. 低秩分解的应用场景 低秩分解可以应用于深度学习模型的多个环节，例如： 权重矩阵分解: 将神经网络中的权重矩阵分解为两个或多个低秩矩阵的 …

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复杂推理任务如何用逐步提示分解提升模型逻辑准确率

复杂推理任务中的逐步提示分解与模型逻辑准确率提升 各位听众，大家好。今天，我将为大家讲解如何利用逐步提示分解（Step-by-Step Prompting）这一技术，来提升大型语言模型（LLMs）在复杂推理任务中的逻辑准确率。复杂推理任务往往需要模型进行多步推理、信息整合和逻辑判断，直接让模型一步到位地给出答案，效果往往不尽如人意。而逐步提示分解的核心思想，就是将复杂问题拆解为一系列更小的、更易于处理的子问题，引导模型逐步推导，最终获得更准确的答案。 一、复杂推理任务的挑战与传统方法的局限性 复杂推理任务的难点在于其 inherent 的多步性和信息依赖性。例如，解决一个复杂的数学应用题，需要理解题意、提取关键信息、选择合适的公式、进行计算，最后得出答案。传统的直接提示（Direct Prompting）方法，即直接向模型提问，期待模型一步给出答案，在处理此类任务时经常失效。 直接提示的局限性主要体现在以下几个方面： 信息过载： 模型需要同时处理大量信息，容易忽略关键信息或产生误解。 推理路径模糊： 模型缺乏明确的推理指导，难以找到正确的推理路径。 缺乏解释性： 即使模型给出答案，我们 …

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`Python`的`矩阵`分解：`SciPy`的`稀疏`矩阵分解和`SVD`的应用。

Python 矩阵分解：SciPy 稀疏矩阵分解与 SVD 应用 大家好！今天我们来深入探讨 Python 中矩阵分解技术，特别是 SciPy 库提供的稀疏矩阵分解以及奇异值分解 (SVD) 的应用。矩阵分解在数据科学、机器学习等领域扮演着至关重要的角色，它可以帮助我们降低数据维度、提取隐藏特征、进行推荐系统构建等等。 1. 矩阵分解概述 矩阵分解，顾名思义，是将一个矩阵分解成多个矩阵的乘积。其基本思想是将原始矩阵表示成若干个低秩矩阵的组合，从而揭示原始数据的潜在结构。不同的分解方法适用于不同的场景，常见的矩阵分解方法包括： 奇异值分解 (SVD): 将矩阵分解为三个矩阵的乘积：U, Σ, V^T，其中 U 和 V 是正交矩阵，Σ 是一个对角矩阵，对角线上的元素是奇异值。SVD 适用于稠密矩阵，且具有广泛的应用。 非负矩阵分解 (NMF): 将矩阵分解为两个非负矩阵的乘积，适用于数据非负的情况，例如图像、文本等。 LU 分解: 将矩阵分解为一个下三角矩阵 L 和一个上三角矩阵 U 的乘积，主要用于求解线性方程组。 Cholesky 分解: 将对称正定矩阵分解为一个下三角矩阵 L 和其转 …

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