矩阵世界的魔法师：Identity() 与 Eye() 的奇幻之旅
各位观众老爷们，大家好！欢迎来到今天的“矩阵魔法屋”，我是你们的导游——矩阵老司机（🧙♂️）。今天，咱们不聊那些枯燥的线性代数公式，也不啃那些晦涩难懂的理论，咱们就来聊聊两个看似简单，实则蕴含无穷力量的“矩阵魔法师”——identity() 和 eye()。
在程序的世界里，矩阵就像一块块积木，而 identity() 和 eye() 这两个魔法师，就掌握着创造最基础、也是最重要的矩阵积木的秘诀。有了它们，我们可以构建出各种奇妙的矩阵结构，玩转数据，解决现实世界中的各种问题。
准备好了吗？让我们一起踏上这场奇幻的矩阵之旅吧！🚀
第一站：identity() – 身份的象征，不变的承诺
首先，我们来认识一下这位低调而强大的魔法师——identity()。从名字就能看出，它与“身份”(identity)息息相关。它所创造的，正是数学世界里鼎鼎大名的单位矩阵 (Identity Matrix)。
什么是单位矩阵？
简单来说，单位矩阵就是一个方阵（行数和列数相同），它的对角线上的元素都是1，其余元素都是0。就像一面镜子，你站在它面前，看到的还是原来的你，不会有任何改变。
公式表达：
如果用数学公式来表达，一个 n 阶单位矩阵 Iₙ 可以这样表示：
Iₙ =
[ 1 0 0 ... 0 ]
[ 0 1 0 ... 0 ]
[ 0 0 1 ... 0 ]
[ ... ... ... ... ... ]
[ 0 0 0 ... 1 ]identity() 的魔法咒语：
不同的编程语言或库中，identity() 的具体用法可能略有不同，但其核心功能是一致的。以 Python 的 NumPy 库为例，使用 np.identity(n) 就可以创建一个 n 阶单位矩阵。
import numpy as np
# 创建一个 3 阶单位矩阵
I = np.identity(3)
print(I)输出：
[[1. 0. 0.]
[0. 1. 0.]
[0. 0. 1.]]瞧，一个标准的 3 阶单位矩阵就这么诞生了！🎉
单位矩阵的魔力：
单位矩阵之所以重要，是因为它在矩阵乘法中扮演着特殊的角色。任何矩阵乘以单位矩阵，结果都不会改变，就像数字 1 在普通乘法中的作用一样。
A * I = A (其中 A 是任意矩阵，I 是与 A 列数相同的单位矩阵)
I * A = A (其中 A 是任意矩阵，I 是与 A 行数相同的单位矩阵)
这种“不变性”在很多情况下都非常有用，比如：
- 矩阵求逆： 求解矩阵的逆矩阵时，需要将原矩阵转换为单位矩阵。
- 线性变换： 单位矩阵代表一种“不做任何变换”的线性变换。
- 算法初始化： 在很多机器学习算法中，单位矩阵可以作为初始权重矩阵。
表格总结：
| 特性 | 描述 |
|---|---|
| 形状 | 方阵 (行数 = 列数) |
| 对角线 | 对角线上的元素均为 1 |
| 其他元素 | 其他位置的元素均为 0 |
| 重要性质 | 任何矩阵乘以单位矩阵，结果不变 (A I = A, I A = A) |
| 应用场景 | 矩阵求逆，线性变换，算法初始化 |
第二站：eye() – “慧眼识珠”，自由定制的对角线
接下来，我们认识一下另一位魔法师——eye()。虽然它和 identity() 长得很像，但它更灵活，更具有个性。eye() 的名字来源于“眼睛”(eye)，暗示着它可以“看到”并控制矩阵的对角线。
eye() 的魔法咒语：
与 identity() 只能创建单位矩阵不同，eye() 可以创建更一般的对角矩阵。我们可以指定矩阵的行数、列数，以及对角线的位置。
在 NumPy 中，使用 np.eye(N, M=None, k=0) 可以创建一个 N 行 M 列的矩阵，对角线上的元素为 1，其余元素为 0。参数 k 用于指定对角线的位置：
k = 0(默认)：主对角线k > 0：主对角线上方的第 k 条对角线k < 0：主对角线下方的第 k 条对角线
示例：
import numpy as np
# 创建一个 4 行 5 列的矩阵，主对角线为 1
A = np.eye(4, 5)
print(A)
# 创建一个 5 行 4 列的矩阵，主对角线上方的第 1 条对角线为 1
B = np.eye(5, 4, k=1)
print(B)
# 创建一个 4 行 5 列的矩阵，主对角线下方的第 2 条对角线为 1
C = np.eye(4, 5, k=-2)
print(C)输出：
[[1. 0. 0. 0. 0.]
[0. 1. 0. 0. 0.]
[0. 0. 1. 0. 0.]
[0. 0. 0. 1. 0.]]
[[0. 1. 0. 0.]
[0. 0. 1. 0.]
[0. 0. 0. 1.]
[0. 0. 0. 0.]
[0. 0. 0. 0.]]
[[0. 0. 0. 0. 0.]
[0. 0. 0. 0. 0.]
[1. 0. 0. 0. 0.]
[0. 1. 0. 0. 0.]]看到了吗？通过调整参数 k，我们可以灵活地控制对角线的位置，创造出各种有趣的矩阵形状。😎
eye() 的应用场景：
eye() 的灵活性使得它在许多场景中都非常有用：
- 构建对角矩阵：
eye()可以用来构建更一般的对角矩阵，即对角线上的元素不一定都是 1。例如，我们可以先创建一个对角矩阵，然后将其与一个包含对角线元素的向量相乘。 - 提取矩阵的对角线元素： 通过与一个适当大小的
eye()矩阵相乘，可以提取原矩阵的对角线元素。 - 图像处理： 在图像处理中，可以使用
eye()创建一些特殊的滤波器，例如用于图像锐化的对角线滤波器。 - 有限元分析： 在有限元分析中，对角矩阵常用于表示质量矩阵或刚度矩阵。
表格总结：
| 特性 | 描述 |
|---|---|
| 形状 | 可以是方阵，也可以是矩形矩阵 (行数 != 列数) |
| 对角线 | 可以指定对角线的位置 (主对角线，上方对角线，下方对角线) |
| 其他元素 | 其他位置的元素均为 0 |
| 重要性质 | 可以灵活地创建各种对角矩阵 |
| 应用场景 | 构建对角矩阵，提取矩阵的对角线元素，图像处理，有限元分析 |
第三站：identity() vs. eye() – 两位魔法师的异同
现在，我们已经分别了解了 identity() 和 eye() 这两位魔法师。让我们来比较一下它们的异同，以便更好地理解它们各自的特点和适用场景。
相同点：
- 都用于创建对角矩阵。
- 生成的矩阵中，非对角线元素均为 0。
不同点：
| 特性 | identity() | eye() |
| ———– | —————————————————————————————————————————————————————————————————————————————- | ————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————- 4.89.0.00000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000|
| 形状 | 只能创建方阵 | 可以创建方阵或矩形矩阵 |
| 对角线 | 只能创建主对角线为 1 的单位矩阵 | 可以指定对角线的位置，创建更一般的