Lean Copilot：利用LLM辅助形式化数学证明（Theorem Proving）的交互式环境 - 智猿学院-前后端，数据库，人工智能，云计算等领域前沿技术讲座

Lean Copilot：LLM 辅助形式化数学证明的交互式环境

大家好！今天我们来探讨一个令人兴奋的前沿领域：利用大型语言模型 (LLM) 辅助形式化数学证明的交互式环境，具体来说，我们聚焦于 Lean Copilot。

形式化数学证明简介

首先，我们需要理解什么是形式化数学证明。与我们通常在纸上进行的数学证明不同，形式化证明是使用严格定义的逻辑系统和形式化语言编写的。这些证明可以被计算机验证，确保其绝对的正确性。主流的形式化证明系统包括 Coq、Isabelle/HOL 和 Lean。

形式化证明的优势在于：

绝对正确性: 通过计算机验证，排除人为错误。
严格性: 迫使我们明确所有假设和推理步骤。
可验证性: 允许其他人轻松验证证明的正确性。
自动化: 一些证明步骤可以由计算机自动完成。

然而，形式化证明也存在一些挑战：

学习曲线陡峭: 需要掌握形式化语言和证明策略。
耗时: 编写形式化证明可能非常耗时。
需要专业知识: 涉及大量的领域知识和证明技巧。

Lean 定理证明器

Lean 是一个由 Leonardo de Moura 在微软研究院主导开发的开源定理证明器。它基于依赖类型理论 (Dependent Type Theory)，提供了一个强大的环境来定义数学对象、陈述定理和构造形式化证明。 Lean 的特点包括：

依赖类型: 允许类型依赖于值，从而能够表达复杂的数学概念。
类型推断: 自动推断许多类型信息，减少了用户的负担。
战术语言: 提供了一套丰富的战术 (tactics) 来指导证明过程。
元编程: 允许用户编写程序来自动化证明。
强大的社区: 拥有活跃的社区和丰富的库 (mathlib)。

下面是一个简单的 Lean 例子，证明了对于任意自然数 n，n + 0 = n：

import Mathlib.Data.Nat.Basic

-- 定义一个定理
theorem add_zero (n : Nat) : n + 0 = n := by
  -- 使用归纳法
  induction n with d hd
  -- 基本情况: n = 0
  case zero =>
    -- 0 + 0 = 0
    rfl
  -- 归纳步骤: n = d + 1
  case succ d hd =>
    -- (d + 1) + 0 = (d + 0) + 1
    rw [Nat.succ_add, hd]
    -- (d + 0) + 1 = d + 1
    rfl

这段代码首先导入了 Mathlib.Data.Nat.Basic 库，其中包含了自然数的基本定义和性质。然后，定义了一个名为 add_zero 的定理，它接受一个自然数 n 作为输入，并声明 n + 0 = n。证明使用了归纳法，分为基本情况 (n = 0) 和归纳步骤 (n = d + 1)。rfl 战术表示通过反身性 (reflexivity) 可以直接证明该等式。rw 战术表示使用等式重写。

LLM 在形式化证明中的应用

近年来，大型语言模型 (LLM) 在自然语言处理领域取得了显著的进展。 LLM 能够理解和生成人类语言，并展现出一定的推理能力。这使得 LLM 在形式化证明领域具有巨大的潜力，可以辅助用户进行证明，例如：

生成证明草稿: 根据定理陈述，生成初步的证明框架或关键步骤。
推荐战术: 根据当前证明状态，推荐合适的战术。
翻译自然语言: 将自然语言描述转换为形式化语言。
解释证明: 将形式化证明转换为易于理解的自然语言解释。
搜索相关知识: 在数学库中搜索相关的定理、定义和引理。

Lean Copilot 的架构与功能

Lean Copilot 是一种利用 LLM 辅助 Lean 定理证明的交互式环境。它的核心架构如下：

Lean 编辑器: 提供代码编辑、语法高亮、错误检查等功能。
Lean Server: 负责与 Lean 交互，进行类型检查、证明状态查询等操作。
LLM 接口: 与预训练的 LLM 模型进行通信。
提示工程模块: 构建合适的提示 (prompts) 发送给 LLM。
结果解析模块: 解析 LLM 的输出，并将其转换为 Lean 代码或建议。
用户界面: 展示 Lean 代码、证明状态、LLM 建议等信息。

Lean Copilot 的主要功能包括：

战术推荐: 根据当前的证明状态，LLM 会推荐一系列可能的战术。用户可以选择其中一个战术，或者要求 LLM 生成更详细的证明步骤。
代码生成: LLM 可以根据用户的描述生成 Lean 代码，例如定义新的类型、函数或定理。
证明搜索: 用户可以输入定理名称或描述，LLM 会在 mathlib 库中搜索相关的定理和证明。
自然语言解释: LLM 可以将形式化证明转换为自然语言解释，帮助用户理解证明的逻辑。

下面是一个 Lean Copilot 的示例交互过程：

用户输入以下定理：

theorem le_trans (a b c : Nat) : a ≤ b → b ≤ c → a ≤ c :=

Lean Copilot 分析当前证明状态，发现需要引入假设。它向 LLM 发送一个提示，询问应该使用什么战术。
LLM 返回建议：intros hab hbc。
Lean Copilot 将建议显示给用户，用户可以选择接受或拒绝。
如果用户接受，Lean Copilot 会自动插入 intros hab hbc 到代码中。
Lean Copilot 再次分析证明状态，并向 LLM 发送新的提示，询问下一步应该怎么做。
LLM 返回建议：induction hab with d hda。
用户接受建议，Lean Copilot 插入 induction hab with d hda。
以此类推，直到证明完成。

提示工程 (Prompt Engineering)

提示工程是 Lean Copilot 的关键组成部分。 LLM 的性能很大程度上取决于输入的提示质量。一个好的提示应该包含以下信息：

清晰的任务描述: 明确告诉 LLM 需要完成的任务，例如“推荐下一个战术”、“生成代码”等。
当前证明状态: 提供当前证明的上下文信息，例如目标 (goal)、假设 (hypothesis) 和本地定义。
相关知识: 提供相关的定理、定义或引理，帮助 LLM 理解问题。
输出格式要求: 明确告诉 LLM 输出的格式，例如 Lean 代码、战术名称或自然语言解释。

以下是一个用于战术推荐的提示示例：

任务：根据当前证明状态，推荐下一个最合适的 Lean 战术。

当前证明状态：
目标：a ≤ c
假设：
hab : a ≤ b
hbc : b ≤ c

相关知识：
le_trans : a ≤ b → b ≤ c → a ≤ c

输出格式：
战术名称

不同的任务需要不同的提示设计。例如，对于代码生成任务，提示可能需要包含更多的代码示例和类型信息。

Lean Copilot 的技术实现

Lean Copilot 的实现涉及多个技术领域，包括：

形式化证明: 需要深入理解 Lean 定理证明器的原理和使用方法。
自然语言处理: 需要掌握 LLM 的使用技巧，以及提示工程的方法。
软件工程: 需要设计和实现一个高效、稳定的交互式环境。

以下是一些关键的技术细节：

LLM 选择: 可以选择不同的 LLM 模型，例如 GPT-3、GPT-4、CodeLLama 等。需要根据模型的性能、成本和适用性进行选择。
API 调用: 使用 LLM 提供的 API 进行通信，例如 OpenAI API、Hugging Face Inference API 等。
数据预处理: 将 Lean 代码和证明状态转换为 LLM 可以理解的格式。
后处理: 将 LLM 的输出转换为 Lean 代码或建议，并进行语法检查和错误处理。
用户界面: 使用 Web 技术 (例如 React、Vue.js) 构建用户界面，提供交互式的证明体验。

下面是一个简化的 Python 代码示例，展示了如何使用 OpenAI API 进行战术推荐：

import openai

# 设置 OpenAI API 密钥
openai.api_key = "YOUR_API_KEY"

def recommend_tactic(goal, hypotheses):
  """
  根据目标和假设，推荐下一个 Lean 战术。
  """

  prompt = f"""
  任务：根据当前证明状态，推荐下一个最合适的 Lean 战术。

  当前证明状态：
  目标：{goal}
  假设：
  """
  for hypothesis in hypotheses:
    prompt += f"{hypothesis}n"

  prompt += """
  输出格式：
  战术名称
  """

  response = openai.Completion.create(
    engine="text-davinci-003",
    prompt=prompt,
    max_tokens=50,
    n=1,
    stop=None,
    temperature=0.1,
  )

  tactic = response.choices[0].text.strip()
  return tactic

# 示例用法
goal = "a ≤ c"
hypotheses = ["hab : a ≤ b", "hbc : b ≤ c"]
tactic = recommend_tactic(goal, hypotheses)
print(f"推荐战术：{tactic}")

这段代码首先设置了 OpenAI API 密钥。然后，定义了一个名为 recommend_tactic 的函数，它接受目标和假设作为输入，并构建一个提示发送给 OpenAI API。 API 返回一个文本结果，其中包含了推荐的战术。代码提取出战术名称并返回。

Lean Copilot 的挑战与未来发展

虽然 Lean Copilot 具有很大的潜力，但仍然面临一些挑战：

LLM 的局限性: LLM 仍然存在一些局限性，例如幻觉 (hallucination)、逻辑错误和缺乏领域知识。
提示工程的复杂性: 设计有效的提示需要大量的实验和调整。
效率: LLM 的推理速度可能较慢，影响交互体验。
可解释性: 难以解释 LLM 的推理过程，用户难以理解为什么 LLM 推荐某个战术。

未来，Lean Copilot 的发展方向可能包括：

更强大的 LLM: 使用更强大的 LLM 模型，例如更大的模型、专门针对数学证明进行训练的模型。
更智能的提示工程: 开发自动化的提示生成和优化方法。
更高效的推理: 优化 LLM 的推理速度，例如使用缓存、并行计算等技术。
更好的可解释性: 提供 LLM 推理过程的可视化和解释。
与 Lean 更紧密的集成: 将 Lean Copilot 集成到 Lean 编辑器中，提供更流畅的交互体验。
形式化验证 LLM 的输出: 使用 Lean 验证 LLM 产生的证明步骤，确保正确性。

Lean Copilot 的潜在影响

Lean Copilot 的成功应用将对形式化数学领域产生深远的影响：

降低学习门槛: LLM 可以辅助用户学习 Lean，减少学习曲线。
提高证明效率: LLM 可以自动化一些证明步骤，提高证明效率。
扩大用户群体: 吸引更多的数学家和计算机科学家参与形式化证明。
促进数学知识的传播: LLM 可以将形式化证明转换为易于理解的自然语言解释，促进数学知识的传播。
自动化数学发现: LLM 有可能发现新的数学定理和证明。

总而言之，Lean Copilot 代表了 LLM 在形式化数学领域的一个重要应用方向。虽然仍然面临一些挑战，但随着技术的不断发展，Lean Copilot 有望成为形式化数学研究和教育的重要工具。

总结：LLM 赋能形式化证明的未来

Lean Copilot 通过 LLM 辅助，有望大幅提升形式化数学证明的效率和可访问性。虽然面临挑战，但其潜力巨大，预示着形式化验证领域的新篇章。通过更强大的模型、智能的提示工程和紧密的集成，我们可以期待 LLM 在数学发现和知识传播方面发挥更大的作用。