Sophia：基于海森矩阵对角线估计的二阶优化器
大家好，今天我们来深入探讨一种新兴的二阶优化器——Sophia，它旨在通过高效地利用海森矩阵的对角线信息，加速深度学习模型的预训练收敛速度。我们将从二阶优化方法的理论基础出发，逐步剖析Sophia的原理、实现细节以及在实际应用中的优势与局限性。
1. 二阶优化方法：理论基础与挑战
在深度学习中，优化算法的目标是找到模型参数，使得损失函数最小化。一阶优化算法，如SGD、Adam等，仅利用损失函数的一阶导数（梯度）来更新参数。虽然它们计算效率高，但收敛速度往往较慢，尤其是在损失函数曲面较为复杂的情况下。
二阶优化算法则利用损失函数的二阶导数（海森矩阵）来更精确地估计损失函数的曲率信息，从而实现更快的收敛。其基本思想是，将损失函数在当前参数点附近进行二阶泰勒展开：
L(θ + Δθ) ≈ L(θ) + gᵀΔθ + 1/2 * ΔθᵀHΔθ其中：
L(θ)是损失函数在参数θ处的值。g是损失函数在θ处的梯度。H是损失函数在θ处的海森矩阵。Δθ是参数更新量。
为了最小化 L(θ + Δθ)，我们可以求解以下方程：
HΔθ = -g从而得到参数更新量：
Δθ = -H⁻¹g这个更新规则被称为牛顿法。然而，在深度学习中，直接计算和存储海森矩阵 H 以及其逆矩阵 H⁻¹ 是非常困难的，因为：
- 计算复杂度高： 海森矩阵的计算复杂度为 O(n²)，其中 n 是参数的数量。对于大型深度学习模型，n 可能达到数百万甚至数十亿，计算海森矩阵的代价是不可接受的。
- 存储空间需求大： 同样，存储海森矩阵也需要 O(n²) 的空间，这对于大型模型来说也是一个巨大的负担。
- 逆矩阵计算困难： 即使能够计算出海森矩阵，求解其逆矩阵也通常是一个计算量很大的问题，尤其是在海森矩阵条件数较大时。
因此，直接应用牛顿法在深度学习中并不现实。为了克服这些挑战，研究者提出了各种近似二阶优化方法，例如：
- L-BFGS： 通过迭代地近似海森矩阵的逆矩阵，避免直接计算和存储完整的海森矩阵。
- K-FAC： 将海森矩阵分解成多个较小的块，并分别计算每个块的逆矩阵。
- 自然梯度法： 使用 Fisher 信息矩阵作为海森矩阵的近似，并利用其对角线信息进行参数更新。
2. Sophia：基于海森矩阵对角线估计的优化器
Sophia 是一种基于海森矩阵对角线估计的二阶优化器，它旨在通过高效地利用海森矩阵的对角线信息，加速深度学习模型的预训练收敛速度。Sophia 的核心思想是：
- 海森矩阵对角线估计： Sophia 使用一种高效的随机算法来估计海森矩阵的对角线元素。
- 参数更新： Sophia 使用估计的海森矩阵对角线元素来对参数进行更新，类似于对每个参数应用一个独立的学习率。
- 计算效率： Sophia 的计算复杂度与一阶优化器相当，使其能够应用于大型深度学习模型的训练。
2.1 海森矩阵对角线估计
Sophia 使用 Hutchinson 算法来估计海森矩阵的对角线元素。Hutchinson 算法是一种随机算法，它通过以下步骤来估计矩阵的迹（trace）：
- 生成一个随机向量
v，其元素服从 Rademacher 分布（即每个元素以 0.5 的概率取 +1 或 -1）。 - 计算
vᵀHv。 vᵀHv是海森矩阵H的迹的无偏估计。
为了估计海森矩阵的对角线元素，我们可以将上述算法应用于矩阵 H 与一个对角矩阵 D 的乘积，其中 D 的对角线元素为 1 或 0，用于选择 H 的特定对角线元素。具体来说，我们可以生成多个随机向量 v，并计算 vᵀHv 的平均值，从而得到更精确的迹的估计。
在 Sophia 中，海森矩阵的对角线元素估计过程如下：
import torch
def estimate_hessian_diagonal(model, loss_fn, data_loader, num_vectors=1):
"""
估计海森矩阵的对角线元素。
Args:
model: 要训练的 PyTorch 模型。
loss_fn: 损失函数。
data_loader: 数据加载器。
num_vectors: 用于估计的随机向量的数量。
Returns:
一个与模型参数形状相同的张量，包含估计的海森矩阵对角线元素。
"""
model.eval() # 禁用梯度更新
hessian_diagonals = []
for name, param in model.named_parameters():
if param.requires_grad: # 如果参数需要梯度更新
hessian_diagonals.append(torch.zeros_like(param.data)) # 创建一个和参数形状一样的全零张量
device = next(model.parameters()).device # 获取模型所在的设备
for i, (inputs, targets) in enumerate(data_loader):
inputs, targets = inputs.to(device), targets.to(device)
outputs = model(inputs)
loss = loss_fn(outputs, targets)
# 计算梯度
model.zero_grad()
loss.backward(create_graph=True, retain_graph=True) # 计算二阶导数
# 创建随机向量
for _ in range(num_vectors): # 循环多次，进行平均，降低方差
random_vector = [torch.randint_like(param.data, low=0, high=2).float().to(device) * 2 - 1
for name, param in model.named_parameters() if param.requires_grad] # 生成服从Rademacher分布的随机向量(1或-1)
# 计算 H @ v
hv_products = torch.autograd.grad(
[grad_param * random_vector_param for (grad_param, random_vector_param) in zip(
(param.grad for name, param in model.named_parameters() if param.requires_grad),
random_vector)],
[param for name, param in model.named_parameters() if param.requires_grad],
retain_graph=True
)
# 累加对角线元素
for index, (hv_product, random_vector_param) in enumerate(zip(hv_products, random_vector)):
hessian_diagonals[index] += (hv_product * random_vector_param).detach().cpu() / num_vectors # v^T * H * v
# 归一化
hessian_diagonals = [hessian_diagonal.to(device) / len(data_loader) for hessian_diagonal in hessian_diagonals] # 平均所有batch的结果
model.train() # 恢复模型训练模式
return hessian_diagonals这段代码首先遍历模型的参数，并为每个需要梯度更新的参数创建一个与参数形状相同的全零张量，用于存储估计的海森矩阵对角线元素。然后，代码遍历数据加载器中的每个批次的数据，计算损失函数，并计算损失函数对模型参数的梯度。接下来，代码生成多个随机向量，并使用这些随机向量来估计海森矩阵的对角线元素。最后，代码将估计的海森矩阵对角线元素除以数据加载器的长度，以得到平均的海森矩阵对角线元素。
2.2 参数更新
在获得海森矩阵对角线元素的估计后，Sophia 使用以下公式来更新参数：
θ = θ - lr * (g / (H_diag + damping))其中：
θ是模型参数。lr是学习率。g是损失函数对参数的梯度。H_diag是估计的海森矩阵对角线元素。damping是一个小的正数，用于防止除以零。
这个更新规则类似于对每个参数应用一个独立的学习率，其中每个参数的学习率与海森矩阵对角线元素的平方根成反比。这意味着，对于曲率较大的参数，学习率会更小，而对于曲率较小的参数，学习率会更大。这种自适应学习率调整可以帮助 Sophia 更快地收敛到最优解。
2.3 Sophia 的优点
- 计算效率高： Sophia 的计算复杂度与一阶优化器相当，使其能够应用于大型深度学习模型的训练。
- 内存占用低： Sophia 只需要存储海森矩阵的对角线元素，而不需要存储完整的海森矩阵，从而大大降低了内存占用。
- 收敛速度快： Sophia 通过利用海森矩阵的曲率信息，可以实现比一阶优化器更快的收敛速度。
- 鲁棒性强： Sophia 对学习率的选择不太敏感，可以更容易地找到合适的学习率。
3. Sophia 的实现
下面是一个使用 PyTorch 实现 Sophia 优化器的示例代码：
import torch
from torch.optim.optimizer import Optimizer
class Sophia(Optimizer):
def __init__(self, params, lr=1e-3, beta=0.99, damping=1e-8, num_vectors=1):
"""
Sophia 优化器。
Args:
params: 要优化的参数。
lr: 学习率。
beta: 用于计算海森矩阵对角线元素移动平均的系数。
damping: 用于防止除以零的小正数。
num_vectors: 用于估计海森矩阵对角线元素的随机向量的数量。
"""
defaults = dict(lr=lr, beta=beta, damping=damping, num_vectors=num_vectors)
super(Sophia, self).__init__(params, defaults)
def step(self, closure=None):
"""
执行一次参数更新。
Args:
closure: 一个闭包，用于重新评估模型并返回损失。
"""
loss = None
if closure is not None:
loss = closure()
for group in self.param_groups:
for p in group['params']:
if p.grad is None:
continue
grad = p.grad.data
state = self.state[p]
# 初始化状态
if len(state) == 0:
state['step'] = 0
state['hessian_diag'] = torch.zeros_like(p.data)
state['step'] += 1
# 估计海森矩阵对角线元素
hessian_diag = estimate_hessian_diagonal_element(p, group['num_vectors'])
# 更新海森矩阵对角线元素的移动平均
state['hessian_diag'].mul_(group['beta']).add_(hessian_diag, alpha=1 - group['beta'])
# 计算参数更新量
update = grad / (state['hessian_diag'].sqrt() + group['damping'])
# 更新参数
p.data.add_(-group['lr'], update)
return loss
def estimate_hessian_diagonal_element(param, num_vectors):
"""
估计单个参数的海森矩阵对角线元素。
Args:
param: 要估计海森矩阵对角线元素的参数。
num_vectors: 用于估计的随机向量的数量。
Returns:
估计的海森矩阵对角线元素。
"""
hessian_diag = torch.zeros_like(param.data)
for _ in range(num_vectors):
# 生成随机向量
random_vector = torch.randint_like(param.data, low=0, high=2).float() * 2 - 1
random_vector = random_vector.to(param.device) # 保证随机向量和参数在同一个设备上
# 计算 H @ v
hv_product = torch.autograd.grad(torch.sum(param.grad * random_vector), param, create_graph=True)[0] # 注意这里要用 torch.sum, 并且 create_graph=True
# 累加对角线元素
hessian_diag += (hv_product * random_vector).detach()
# 归一化
hessian_diag /= num_vectors
return hessian_diag这个代码定义了一个名为 Sophia 的类，它继承自 torch.optim.optimizer.Optimizer。Sophia 类的构造函数接受以下参数：
params: 要优化的参数。lr: 学习率。beta: 用于计算海森矩阵对角线元素移动平均的系数。damping: 用于防止除以零的小正数。num_vectors: 用于估计海森矩阵对角线元素的随机向量的数量。
Sophia 类的 step 方法执行一次参数更新。该方法首先计算损失函数对参数的梯度，然后使用 estimate_hessian_diagonal_element 函数估计海森矩阵的对角线元素。接下来，该方法更新海森矩阵对角线元素的移动平均，并计算参数更新量。最后，该方法使用计算出的参数更新量来更新参数。
estimate_hessian_diagonal_element 函数估计单个参数的海森矩阵对角线元素。该函数首先生成多个随机向量，然后使用这些随机向量来估计海森矩阵的对角线元素。最后，该函数将估计的海森矩阵对角线元素除以随机向量的数量，以得到平均的海森矩阵对角线元素。
4. Sophia 的应用
Sophia 可以应用于各种深度学习模型的训练，例如：
- 图像分类： Sophia 可以用于训练图像分类模型，例如 ResNet、EfficientNet 等。
- 自然语言处理： Sophia 可以用于训练自然语言处理模型，例如 BERT、GPT 等。
- 目标检测： Sophia 可以用于训练目标检测模型，例如 YOLO、Faster R-CNN 等。
- 生成对抗网络： Sophia 可以用于训练生成对抗网络，例如 GAN、DCGAN 等。
在实际应用中，Sophia 通常可以实现比一阶优化器更快的收敛速度，尤其是在预训练阶段。
5. Sophia 的局限性
虽然 Sophia 具有许多优点，但它也存在一些局限性：
- 二阶导数计算开销： 为了估计海森矩阵的对角线元素，Sophia 需要计算二阶导数，这会增加计算开销。虽然 Sophia 使用随机算法来降低计算复杂度，但二阶导数的计算仍然可能成为瓶颈。
- 超参数敏感性： Sophia 的性能对超参数的选择比较敏感，例如学习率、beta 和 damping。需要仔细调整这些超参数才能获得最佳性能。
- 理论保证不足： 相比于一些其他二阶优化方法，Sophia 的理论保证还不够完善。
6. 总结一下：高效利用海森矩阵信息，加速模型收敛，但需注意计算开销和超参数调整
Sophia 是一种基于海森矩阵对角线估计的二阶优化器，它通过高效地利用海森矩阵的曲率信息，加速深度学习模型的预训练收敛速度。尽管Sophia存在一些局限性，但它仍然是一种非常有潜力的优化算法，值得进一步研究和应用。通过理解其原理和实现细节，我们可以更好地利用Sophia来训练大型深度学习模型，并取得更好的性能。