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Python实现量子电路的变分量子本征求解器（VQE）：经典/量子混合优化

Python实现量子电路的变分量子本征求解器（VQE）：经典/量子混合优化

大家好！今天我们来深入探讨如何用Python实现变分量子本征求解器（Variational Quantum Eigensolver, VQE），这是一个经典的量子-经典混合算法，用于寻找给定哈密顿量的基态能量。VQE的核心思想是利用量子计算机准备一个参数化的量子态，然后通过经典优化器调整参数，最小化能量期望值。

1. VQE 算法原理

VQE的目标是找到哈密顿算符H的基态|ψ₀⟩及其对应的基态能量E₀，满足H|ψ₀⟩ = E₀|ψ₀⟩。由于量子计算机擅长处理高维希尔伯特空间，VQE通过以下步骤近似求解：

  1. Ansatz (变分波函数): 定义一个参数化的量子线路，也称为Ansatz，表示为|ψ(θ)⟩，其中θ是参数。这个Ansatz的设计是VQE算法的关键，它决定了算法的精度和效率。常见的Ansatz包括硬件高效Ansatz (Hardware Efficient Ansatz) 和统一耦合簇单激发和双激发Ansatz (Unitary Coupled Cluster Singles and Doubles, UCCSD)。

  2. 能量期望值计算: 在量子计算机上制备|ψ(θ)⟩，然后测量哈密顿量H的期望值⟨ψ(θ)|H|ψ(θ)⟩。由于哈密顿量通常可以分解为多个Pauli算符的线性组合，因此需要多次测量，每次测量对应一个Pauli算符。

  3. 经典优化器: 使用经典优化器（如梯度下降、共轭梯度等）调整参数θ，以最小化能量期望值⟨ψ(θ)|H|ψ(θ)⟩。

  4. 迭代: 重复步骤2和3，直到能量收敛。

2. Python实现VQE的关键步骤

我们将使用 qiskit 库来实现VQE。qiskit 是一个强大的开源量子计算框架，提供了构建、模拟和运行量子电路的工具。

2.1. 安装必要的库

首先，确保安装了必要的库：

pip install qiskit qiskit-aer scipy numpy

2.2. 定义哈密顿量

我们需要定义一个哈密顿量，作为VQE的目标函数。这里以氢分子（H₂）为例，使用简化的哈密顿量。

import numpy as np
from qiskit.quantum_info import SparsePauliOp

# 定义氢分子的哈密顿量（简化版）
coeffs = [-1.052373245772859, 0.39793742484318045, -0.39793742484318045, -0.01128010425623538, 0.18093119978423156, 0.18093119978423156, 0.02234527888643375, 0.12293363101128276, 0.12293363101128276, 0.16768139629471166, -0.22575349063357662, 0.16768139629471166, 0.1705994182223175, 0.1705994182223175, 0.09100079942444209, -0.17120108224074456]
paulis = ["II", "IZ", "ZI", "ZZ", "XX", "YY", "IX", "XI", "IY", "YI", "ZZ", "XX", "IZ", "ZI", "II", "ZZ"]

hamiltonian = SparsePauliOp.from_list(zip(paulis, coeffs))
print("哈密顿量:", hamiltonian)

2.3. 定义 Ansatz (变分波函数)

这里使用一个简单的RealAmplitudes ansatz。RealAmplitudes ansatz 由一系列的RY旋转和CNOT门组成。

from qiskit.circuit.library import RealAmplitudes
from qiskit import QuantumCircuit

# 定义 Ansatz
num_qubits = hamiltonian.num_qubits
ansatz = RealAmplitudes(num_qubits, reps=2) # reps=2, 即重复两次RY和CNOT的结构
print("Ansatz circuit:")
print(ansatz.draw())  # 可以打印电路图

2.4. 能量期望值计算

我们需要一个函数来计算给定参数下，哈密顿量的期望值。这需要构建量子电路，运行模拟器，并根据测量结果计算期望值。

from qiskit_aer import AerSimulator
from qiskit import transpile

def calculate_energy(parameters, hamiltonian, ansatz, simulator):
  """
  计算能量期望值。

  Args:
    parameters (np.ndarray): Ansatz的参数。
    hamiltonian (SparsePauliOp): 哈密顿算符。
    ansatz (QuantumCircuit): 参数化的量子电路。
    simulator (AerSimulator): 量子模拟器。

  Returns:
    float: 能量期望值。
  """

  # 将参数绑定到Ansatz
  qc = ansatz.assign_values(parameters)

  # 将哈密顿量分解为Pauli项
  pauli_list = hamiltonian.paulis
  coeff_list = hamiltonian.coeffs

  energy = 0.0
  for i, pauli in enumerate(pauli_list):
    coeff = coeff_list[i]
    # 构建测量电路
    measurement_circuit = QuantumCircuit(qc.num_qubits, qc.num_qubits)
    measurement_circuit.append(qc, range(qc.num_qubits))

    # 根据Pauli算符选择基矢变换
    for qubit in range(qc.num_qubits):
      if pauli[qubit] == 'X':
        measurement_circuit.h(qubit)
      elif pauli[qubit] == 'Y':
        measurement_circuit.sdg(qubit)  # S dagger gate
        measurement_circuit.h(qubit)
    measurement_circuit.measure(range(qc.num_qubits), range(qc.num_qubits))

    # 运行模拟器
    t_circ = transpile(measurement_circuit, simulator)
    result = simulator.run(t_circ, shots=1024).result()
    counts = result.get_counts(t_circ)

    # 计算期望值
    expectation_value = 0.0
    for bitstring, count in counts.items():
      parity = (-1)**(sum([int(b) for b in bitstring]))
      expectation_value += parity * count / 1024.0

    energy += coeff * expectation_value

  return energy

# 选择模拟器
simulator = AerSimulator(method='statevector') # statevector 模拟器更快
# simulator = AerSimulator(method='qasm_simulator') # qasm_simulator 会模拟噪声

# 测试能量计算函数
initial_parameters = np.random.random(ansatz.num_parameters)
energy = calculate_energy(initial_parameters, hamiltonian, ansatz, simulator)
print("初始能量:", energy)

2.5. 使用经典优化器

现在，我们需要使用一个经典优化器来最小化能量期望值。scipy.optimize 模块提供了多种优化算法。

from scipy.optimize import minimize

def vqe_objective(parameters, hamiltonian, ansatz, simulator):
  """
  VQE的目标函数，返回能量期望值。

  Args:
    parameters (np.ndarray): Ansatz的参数。
    hamiltonian (SparsePauliOp): 哈密顿算符。
    ansatz (QuantumCircuit): 参数化的量子电路。
    simulator (AerSimulator): 量子模拟器。

  Returns:
    float: 能量期望值。
  """
  return calculate_energy(parameters, hamiltonian, ansatz, simulator)

# 定义优化器
optimizer = 'COBYLA' # Constrained Optimization BY Linear Approximation
# optimizer = 'L-BFGS-B' # limited-memory Broyden–Fletcher–Goldfarb–Shanno algorithm
# optimizer = 'SPSA' # Simultaneous Perturbation Stochastic Approximation

# 运行VQE
initial_parameters = np.random.random(ansatz.num_parameters)
result = minimize(vqe_objective, initial_parameters,
                  args=(hamiltonian, ansatz, simulator),
                  method=optimizer)

# 打印结果
optimal_parameters = result.x
optimal_energy = result.fun
print("最优参数:", optimal_parameters)
print("最优能量:", optimal_energy)
print("优化结果:", result)

2.6. 完整代码

下面是完整的代码，将上述步骤整合在一起：

import numpy as np
from qiskit.quantum_info import SparsePauliOp
from qiskit.circuit.library import RealAmplitudes
from qiskit import QuantumCircuit, transpile
from qiskit_aer import AerSimulator
from scipy.optimize import minimize

# 1. 定义哈密顿量
coeffs = [-1.052373245772859, 0.39793742484318045, -0.39793742484318045, -0.01128010425623538,
          0.18093119978423156, 0.18093119978423156, 0.02234527888643375, 0.12293363101128276,
          0.12293363101128276, 0.16768139629471166, -0.22575349063357662, 0.16768139629471166,
          0.1705994182223175, 0.1705994182223175, 0.09100079942444209, -0.17120108224074456]
paulis = ["II", "IZ", "ZI", "ZZ", "XX", "YY", "IX", "XI", "IY", "YI", "ZZ", "XX", "IZ", "ZI", "II", "ZZ"]

hamiltonian = SparsePauliOp.from_list(zip(paulis, coeffs))

# 2. 定义 Ansatz
num_qubits = hamiltonian.num_qubits
ansatz = RealAmplitudes(num_qubits, reps=2)

# 3. 能量期望值计算函数
def calculate_energy(parameters, hamiltonian, ansatz, simulator):
  qc = ansatz.assign_values(parameters)
  pauli_list = hamiltonian.paulis
  coeff_list = hamiltonian.coeffs

  energy = 0.0
  for i, pauli in enumerate(pauli_list):
    coeff = coeff_list[i]
    measurement_circuit = QuantumCircuit(qc.num_qubits, qc.num_qubits)
    measurement_circuit.append(qc, range(qc.num_qubits))

    for qubit in range(qc.num_qubits):
      if pauli[qubit] == 'X':
        measurement_circuit.h(qubit)
      elif pauli[qubit] == 'Y':
        measurement_circuit.sdg(qubit)
        measurement_circuit.h(qubit)
    measurement_circuit.measure(range(qc.num_qubits), range(qc.num_qubits))

    t_circ = transpile(measurement_circuit, simulator)
    result = simulator.run(t_circ, shots=1024).result()
    counts = result.get_counts(t_circ)

    expectation_value = 0.0
    for bitstring, count in counts.items():
      parity = (-1)**(sum([int(b) for b in bitstring]))
      expectation_value += parity * count / 1024.0

    energy += coeff * expectation_value

  return energy

# 4. 定义VQE目标函数
def vqe_objective(parameters, hamiltonian, ansatz, simulator):
  return calculate_energy(parameters, hamiltonian, ansatz, simulator)

# 5. 选择模拟器和优化器
simulator = AerSimulator(method='statevector')
optimizer = 'COBYLA'

# 6. 运行VQE
initial_parameters = np.random.random(ansatz.num_parameters)
result = minimize(vqe_objective, initial_parameters,
                  args=(hamiltonian, ansatz, simulator),
                  method=optimizer)

# 7. 打印结果
optimal_parameters = result.x
optimal_energy = result.fun
print("最优参数:", optimal_parameters)
print("最优能量:", optimal_energy)
print("优化结果:", result)

3. 结果分析与讨论

运行上述代码，你会得到优化后的参数和能量。最优能量应该接近氢分子的基态能量。需要注意的是，VQE的精度取决于Ansatz的选择和优化器的性能。

3.1. Ansatz的选择

Ansatz的设计至关重要。理想的Ansatz应该能够有效地覆盖基态，并且易于在量子计算机上实现。

  • 硬件高效Ansatz (Hardware Efficient Ansatz): 这种Ansatz由量子计算机本地支持的门组成，易于实现，但可能需要更多的参数才能达到所需的精度。

  • UCCSD Ansatz: 这种Ansatz基于量子化学中的耦合簇理论，能够更准确地描述电子相关性，但实现起来更复杂。

3.2. 优化器的选择

经典优化器的选择也会影响VQE的性能。

  • 梯度下降: 简单易用，但可能陷入局部最小值。

  • 共轭梯度: 比梯度下降更有效，但计算量更大。

  • COBYLA: 适用于目标函数不可微的情况。

  • SPSA: 适用于噪声较大的情况，但收敛速度较慢。

3.3. 噪声的影响

真实的量子计算机存在噪声，这会影响VQE的精度。可以使用噪声模型来模拟真实量子计算机的行为，并开发抗噪声的VQE算法。

4. VQE的改进与扩展

VQE算法有很多改进和扩展的方向：

  • 自适应VQE (Adaptive VQE): 动态地构建Ansatz，根据梯度信息添加新的量子门，以提高精度。

  • 容错VQE (Fault-Tolerant VQE): 结合量子纠错码，提高算法的鲁棒性。

  • 多参考VQE (Multi-Reference VQE): 适用于处理多参考态的分子体系。

5. 案例：不同优化器对VQE的影响

为了更直观地展示不同优化器对VQE性能的影响，我们进行一个简单的实验，比较COBYLA和L-BFGS-B优化器在求解上述氢分子哈密顿量的基态能量时的表现。

import numpy as np
from qiskit.quantum_info import SparsePauliOp
from qiskit.circuit.library import RealAmplitudes
from qiskit import QuantumCircuit, transpile
from qiskit_aer import AerSimulator
from scipy.optimize import minimize
import time

# 1. 定义哈密顿量 (同上)
coeffs = [-1.052373245772859, 0.39793742484318045, -0.39793742484318045, -0.01128010425623538,
          0.18093119978423156, 0.18093119978423156, 0.02234527888643375, 0.12293363101128276,
          0.12293363101128276, 0.16768139629471166, -0.22575349063357662, 0.16768139629471166,
          0.1705994182223175, 0.1705994182223175, 0.09100079942444209, -0.17120108224074456]
paulis = ["II", "IZ", "ZI", "ZZ", "XX", "YY", "IX", "XI", "IY", "YI", "ZZ", "XX", "IZ", "ZI", "II", "ZZ"]

hamiltonian = SparsePauliOp.from_list(zip(paulis, coeffs))

# 2. 定义 Ansatz (同上)
num_qubits = hamiltonian.num_qubits
ansatz = RealAmplitudes(num_qubits, reps=2)

# 3. 能量期望值计算函数 (同上)
def calculate_energy(parameters, hamiltonian, ansatz, simulator):
  qc = ansatz.assign_values(parameters)
  pauli_list = hamiltonian.paulis
  coeff_list = hamiltonian.coeffs

  energy = 0.0
  for i, pauli in enumerate(pauli_list):
    coeff = coeff_list[i]
    measurement_circuit = QuantumCircuit(qc.num_qubits, qc.num_qubits)
    measurement_circuit.append(qc, range(qc.num_qubits))

    for qubit in range(qc.num_qubits):
      if pauli[qubit] == 'X':
        measurement_circuit.h(qubit)
      elif pauli[qubit] == 'Y':
        measurement_circuit.sdg(qubit)
        measurement_circuit.h(qubit)
    measurement_circuit.measure(range(qc.num_qubits), range(qc.num_qubits))

    t_circ = transpile(measurement_circuit, simulator)
    result = simulator.run(t_circ, shots=1024).result()
    counts = result.get_counts(t_circ)

    expectation_value = 0.0
    for bitstring, count in counts.items():
      parity = (-1)**(sum([int(b) for b in bitstring]))
      expectation_value += parity * count / 1024.0

    energy += coeff * expectation_value

  return energy

# 4. 定义VQE目标函数 (同上)
def vqe_objective(parameters, hamiltonian, ansatz, simulator):
  return calculate_energy(parameters, hamiltonian, ansatz, simulator)

# 5. 选择模拟器
simulator = AerSimulator(method='statevector')

# 6. 运行VQE for COBYLA
optimizer_cobyla = 'COBYLA'
initial_parameters = np.random.random(ansatz.num_parameters)
start_time = time.time()
result_cobyla = minimize(vqe_objective, initial_parameters,
                  args=(hamiltonian, ansatz, simulator),
                  method=optimizer_cobyla)
end_time = time.time()
time_cobyla = end_time - start_time

# 7. 运行VQE for L-BFGS-B
optimizer_lbfgsb = 'L-BFGS-B'
initial_parameters = np.random.random(ansatz.num_parameters)
start_time = time.time()
result_lbfgsb = minimize(vqe_objective, initial_parameters,
                  args=(hamiltonian, ansatz, simulator),
                  method=optimizer_lbfgsb)
end_time = time.time()
time_lbfgsb = end_time - start_time

# 8. 打印结果
print("--------------------- COBYLA ---------------------")
print("最优能量 (COBYLA):", result_cobyla.fun)
print("优化时间 (COBYLA):", time_cobyla, "秒")
print("优化结果 (COBYLA):", result_cobyla)

print("--------------------- L-BFGS-B ---------------------")
print("最优能量 (L-BFGS-B):", result_lbfgsb.fun)
print("优化时间 (L-BFGS-B):", time_lbfgsb, "秒")
print("优化结果 (L-BFGS-B):", result_lbfgsb)

# 9. 创建结果表格

import pandas as pd

data = {'Optimizer': ['COBYLA', 'L-BFGS-B'],
        'Optimal Energy': [result_cobyla.fun, result_lbfgsb.fun],
        'Optimization Time (s)': [time_cobyla, time_lbfgsb],
        'Number of Function Evaluations': [result_cobyla.nfev, result_lbfgsb.nfev]}

df = pd.DataFrame(data)
print("n--------------------- Comparison Table ---------------------")
print(df)

运行结果会打印出COBYLA和L-BFGS-B两种优化器找到的最优能量、优化时间和函数评估次数。通过比较这些指标，可以了解不同优化器在VQE中的表现。通常情况下，L-BFGS-B可能收敛更快，但COBYLA在某些情况下可能更稳定，尤其是在目标函数不是非常平滑时。函数评估次数 (nfev) 可以作为算法效率的一个指标，较低的 nfev 通常意味着算法更有效率。

6. 总结：一个量子与经典协同的优化过程

VQE是一种强大的量子-经典混合算法，能够有效地求解分子体系的基态能量。通过合理选择Ansatz和优化器，并结合抗噪声技术，VQE有望在量子化学、材料科学等领域发挥重要作用。理解VQE的原理、实现以及各种改进方向，能够帮助我们更好地利用量子计算机解决实际问题。

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