好的，各位亲爱的码农、准码农、以及对数学跃跃欲试的小伙伴们，欢迎来到 “最小二乘法：np.linalg.lstsq() 深度揭秘” 讲座！我是你们今天的导游，将带领大家一起探索这个看似高冷，实则非常实用、甚至有点可爱（？）的数学工具。
准备好了吗？让我们系好安全带，开始这段精彩的旅程吧！🚀
第一站：什么是最小二乘法？（别怕，我们不掉书袋！）
想象一下，你是一位神箭手，练习射箭。射了几箭后，箭落在了靶子的周围，散落各处。你的目标是找到一个最佳的落点，使得所有箭离这个落点的距离之和最小。这个落点就可以看作是最小二乘法要解决的问题的一个简单例子。🎯
再举个更贴近生活的例子：你是一位数据分析师，收集到了一堆关于房价和房屋面积的数据。你想找到一个公式，能够根据房屋面积预测房价。但是，由于各种因素的影响（比如地段、装修、朝向等等），实际的房价和你的预测之间总会存在误差。最小二乘法就是用来找到一条最佳的直线（或其他曲线），使得所有数据点到这条直线的距离（误差）的平方和最小。🏠
简单来说，最小二乘法就是一种 “找到最佳拟合” 的方法，它试图找到一个模型，使得模型预测值与实际观测值之间的误差最小。这里的“误差”通常指的是残差，也就是实际观测值与模型预测值之间的差值。而“最小二乘”中的“平方”，则是指将这些残差进行平方，然后求和。为什么要平方呢？🤔 原因有很多，比如：
- 避免正负残差相互抵消： 如果不平方，正的残差和负的残差可能会相互抵消，导致我们误以为模型拟合得很好。
- 放大误差： 平方可以放大较大的误差，使得模型更加关注这些较大的误差，从而提高模型的准确性。
- 数学上的便利： 平方函数具有良好的数学性质，比如可导性，这使得我们可以方便地使用微积分等工具来求解最小二乘问题。
第二站：np.linalg.lstsq() 是什么？（别慌，我们不啃文档！）
现在我们已经了解了最小二乘法的基本概念，接下来就要介绍我们今天的主角：np.linalg.lstsq()。
np.linalg.lstsq() 是 NumPy 库中的一个函数，专门用于解决线性最小二乘问题。 它可以帮助我们找到一组系数，使得线性方程组的解与实际观测值之间的误差最小。
想象一下，你是一位侦探，需要根据一些线索来推断出罪犯的身高和体重。你收集到了一些嫌疑人的身高和体重数据，以及他们犯罪时留下的脚印大小。你可以使用 np.linalg.lstsq() 来找到身高和体重与脚印大小之间的关系，从而缩小嫌疑人的范围。🕵️♂️
np.linalg.lstsq() 的基本用法：
import numpy as np
# 定义观测数据
A = np.array([[1, 2], [3, 4], [5, 6]]) # 系数矩阵
b = np.array([5, 10, 15]) # 观测值向量
# 使用 np.linalg.lstsq() 求解最小二乘问题
x, residuals, rank, s = np.linalg.lstsq(A, b, rcond=None)
# x: 最小二乘解
# residuals: 残差平方和
# rank: 系数矩阵的秩
# s: 系数矩阵的奇异值
print("最小二乘解:", x)
print("残差平方和:", residuals)
print("矩阵的秩:", rank)
print("奇异值:", s)代码解读：
A：系数矩阵，每一行代表一个观测样本，每一列代表一个特征。b：观测值向量，包含了与每个观测样本对应的实际观测值。x：最小二乘解，也就是我们要找到的系数，它使得Ax最接近b。residuals：残差平方和，也就是||Ax - b||^2，它衡量了模型拟合的程度。rank：系数矩阵的秩，它反映了矩阵的线性独立性。s：系数矩阵的奇异值，它反映了矩阵的奇异程度。rcond=None：一个阈值，用于判断矩阵是否是奇异的。如果矩阵的奇异值小于这个阈值，则认为矩阵是奇异的，求解的结果可能不准确。在 NumPy 1.14 版本之后，rcond的默认值从1e-15变成了None，这意味着 NumPy 会根据矩阵的大小自动选择一个合适的阈值。
第三站：np.linalg.lstsq() 的高级用法： （别睡，我们不讲废话！）
np.linalg.lstsq() 不仅仅可以解决简单的线性最小二乘问题，还可以用于解决更复杂的问题。
1. 多元线性回归：
多元线性回归是指使用多个特征来预测一个目标变量。我们可以使用 np.linalg.lstsq() 来找到每个特征的系数，从而建立一个多元线性回归模型。
import numpy as np
# 定义观测数据
X = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]]) # 特征矩阵
y = np.array([10, 20, 30]) # 目标变量
# 在特征矩阵中添加一列常数项，用于表示截距
X = np.concatenate([np.ones((X.shape[0], 1)), X], axis=1)
# 使用 np.linalg.lstsq() 求解最小二乘问题
beta, residuals, rank, s = np.linalg.lstsq(X, y, rcond=None)
# beta: 回归系数，包括截距和各个特征的系数
print("回归系数:", beta)代码解读：
X：特征矩阵，每一行代表一个观测样本，每一列代表一个特征。y：目标变量，包含了与每个观测样本对应的目标变量的值。np.concatenate([np.ones((X.shape[0], 1)), X], axis=1)：在特征矩阵中添加一列常数项，用于表示截距。beta：回归系数，包括截距和各个特征的系数。
2. 非线性最小二乘：
虽然 np.linalg.lstsq() 主要用于解决线性最小二乘问题，但是我们可以通过一些技巧来将其应用于非线性最小二乘问题。一种常用的方法是将非线性模型线性化，然后使用 np.linalg.lstsq() 求解。
例如，假设我们有一个指数模型：
y = a * exp(b * x)我们可以将这个模型线性化，得到：
log(y) = log(a) + b * x然后，我们可以使用 np.linalg.lstsq() 来求解 log(a) 和 b。
注意： 这种方法只是一种近似方法，其结果可能不准确。对于更复杂的非线性最小二乘问题，我们需要使用专门的非线性优化算法。
3. 带有约束的最小二乘：
有时候，我们需要在最小二乘问题中添加一些约束条件。例如，我们可能要求某些系数必须为正数，或者某些系数的和必须等于 1。对于带有约束的最小二乘问题，我们需要使用专门的优化算法，例如二次规划算法。np.linalg.lstsq() 本身并不直接支持约束条件。
第四站：实例演练：房价预测（别走神，我们来点干货！）
让我们通过一个实际的例子来演示如何使用 np.linalg.lstsq() 进行房价预测。
假设我们收集到了一些关于房价和房屋面积的数据：
| 房屋面积 (平方米) | 房价 (万元) |
|---|---|
| 50 | 300 |
| 75 | 450 |
| 100 | 600 |
| 125 | 750 |
| 150 | 900 |
我们可以使用 np.linalg.lstsq() 来找到一个线性模型，能够根据房屋面积预测房价。
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# 定义观测数据
X = np.array([50, 75, 100, 125, 150]) # 房屋面积
y = np.array([300, 450, 600, 750, 900]) # 房价
# 将 X 转换为矩阵形式，并添加一列常数项
X = X.reshape(-1, 1)
X = np.concatenate([np.ones((X.shape[0], 1)), X], axis=1)
# 使用 np.linalg.lstsq() 求解最小二乘问题
beta, residuals, rank, s = np.linalg.lstsq(X, y, rcond=None)
# beta: 回归系数，包括截距和房屋面积的系数
print("回归系数:", beta)
print("残差平方和:", residuals)
# 绘制散点图和回归直线
plt.scatter(X[:, 1], y, label="观测数据")
plt.plot(X[:, 1], X @ beta, color="red", label="回归直线")
plt.xlabel("房屋面积 (平方米)")
plt.ylabel("房价 (万元)")
plt.legend()
plt.title("房价预测")
plt.show()代码解读：
X = X.reshape(-1, 1)：将 X 转换为矩阵形式，方便后续计算。X = np.concatenate([np.ones((X.shape[0], 1)), X], axis=1)：在 X 中添加一列常数项，用于表示截距。plt.scatter(X[:, 1], y, label="观测数据")：绘制散点图，显示观测数据。plt.plot(X[:, 1], X @ beta, color="red", label="回归直线")：绘制回归直线，显示模型预测结果。
运行这段代码，我们可以得到回归系数和残差平方和，以及一个显示观测数据和回归直线的图表。从图表中可以看出，回归直线能够很好地拟合观测数据，说明我们的模型预测能力较强。📈
第五站：注意事项（别大意，我们来避坑！）
在使用 np.linalg.lstsq() 时，需要注意以下几点：
- 奇异矩阵： 如果系数矩阵是奇异的（也就是秩小于矩阵的列数），则最小二乘解可能不唯一。在这种情况下，
np.linalg.lstsq()会返回一个最小范数解。你可以通过检查rank的值来判断矩阵是否是奇异的。 - 多重共线性： 如果特征矩阵中存在多重共线性（也就是某些特征之间存在线性相关关系），则最小二乘解可能不稳定。在这种情况下，你可以尝试使用正则化方法来解决多重共线性问题。
- 数据预处理： 在使用
np.linalg.lstsq()之前，通常需要对数据进行预处理，例如标准化或归一化。这可以避免某些特征对结果产生过大的影响。 - 残差分析： 在得到最小二乘解之后，需要对残差进行分析，以评估模型的拟合效果。如果残差存在明显的模式，则说明模型可能存在问题。
第六站：总结与展望（别灰心，我们来鼓励！）
恭喜你！ 🎉 你已经完成了今天的 “最小二乘法：np.linalg.lstsq() 深度揭秘” 讲座。 通过今天的学习，你应该已经掌握了以下知识点：
- 最小二乘法的基本概念和原理
np.linalg.lstsq()函数的基本用法和高级用法- 如何使用
np.linalg.lstsq()解决实际问题 - 使用
np.linalg.lstsq()时需要注意的事项
当然，最小二乘法只是一个入门级的工具，在实际应用中，你可能需要学习更高级的优化算法和建模技术。但是，掌握最小二乘法可以为你打下坚实的基础，帮助你更好地理解和应用这些更高级的工具。
希望今天的讲座能够对你有所帮助。记住，学习是一个持续的过程，不要害怕犯错，勇于探索，你一定能够成为一名优秀的码农！ 💻
最后，送给大家一句话：
“代码虐我千百遍，我待代码如初恋！” 💖
感谢大家的参与，我们下次再见！ 👋