MySQL高级函数 VAR_POP() 和 VAR_SAMP(): 统计学方差计算应用讲座
大家好！今天我们来深入探讨MySQL中两个非常有用的统计函数：VAR_POP()和VAR_SAMP()。这两个函数都用于计算方差，但它们在计算方式上有所不同，适用于不同的场景。理解它们的区别以及如何在实际应用中使用它们，对于数据分析和报表生成至关重要。
1. 方差的统计学概念回顾
在深入研究MySQL函数之前，我们先快速回顾一下方差的概念。方差是衡量一组数据离散程度的指标。它表示每个数据点与数据集均值之间的偏差的平方的平均值。方差越大，数据越分散；方差越小，数据越集中。
方差有两种常见的计算方式：
- 总体方差 (Population Variance): 用于描述整个总体的数据离散程度。计算时，使用总体中的所有数据。
- 样本方差 (Sample Variance): 用于描述从总体中抽取的样本数据的离散程度，并用于估计总体方差。由于样本数据通常不能完全代表总体，因此样本方差的计算公式中会进行校正，以提供更准确的估计。
2. VAR_POP() 函数：总体方差
VAR_POP()函数计算的是总体方差。这意味着它假设你提供的所有数据都构成了整个总体。
语法：
VAR_POP(expression)其中 expression 是要计算方差的数值表达式，通常是表中的某一列。
计算公式：
如果数据集为 {x1, x2, …, xn}，均值为 μ，则总体方差的计算公式为：
VAR_POP = ∑(xi – μ)² / n
其中：
xi代表数据集中的每个数据点。μ代表数据集的均值。n代表数据集的大小（数据点的总数）。
示例：
假设我们有一个名为 employees 的表，其中包含员工的薪资信息：
CREATE TABLE employees (
employee_id INT PRIMARY KEY,
salary DECIMAL(10, 2)
);
INSERT INTO employees (employee_id, salary) VALUES
(1, 50000.00),
(2, 60000.00),
(3, 70000.00),
(4, 80000.00),
(5, 90000.00);要计算所有员工薪资的总体方差，可以使用以下 SQL 查询：
SELECT VAR_POP(salary) AS population_variance FROM employees;结果：
population_variance
---------------------
200000000.0000这个结果表明，员工薪资的总体方差为 200,000,000。
3. VAR_SAMP() 函数：样本方差
VAR_SAMP()函数计算的是样本方差。这意味着它假设你提供的数据是从更大的总体中抽取的样本，并且你想使用样本方差来估计总体方差。
语法：
VAR_SAMP(expression)其中 expression 是要计算方差的数值表达式，通常是表中的某一列。
计算公式：
如果数据集为 {x1, x2, …, n}，均值为 x̄，则样本方差的计算公式为：
VAR_SAMP = ∑(xi – x̄)² / (n – 1)
其中：
xi代表数据集中的每个数据点。x̄代表数据集的样本均值。n代表数据集的大小（数据点的总数）。
注意公式中的分母是 (n - 1)，而不是 n。这个 (n - 1) 被称为 Bessel’s correction，用于校正样本方差，使其成为总体方差的更准确的估计。 因为样本通常不能完全代表总体，直接用n计算会低估总体方差。除以 (n-1) 可以稍微增加方差的值，从而更好地反映总体的潜在离散程度。
示例：
继续使用上面的 employees 表，假设这些员工只是公司所有员工的一个样本。要计算样本方差，可以使用以下 SQL 查询：
SELECT VAR_SAMP(salary) AS sample_variance FROM employees;结果：
sample_variance
---------------------
250000000.0000这个结果表明，员工薪资的样本方差为 250,000,000。 请注意，样本方差比总体方差大。 这是因为 VAR_SAMP() 使用了 Bessel’s correction。
4. VAR_POP() vs VAR_SAMP()：关键区别
| 特性 | VAR_POP() | VAR_SAMP() |
|---|---|---|
| 计算类型 | 总体方差 | 样本方差 |
| 适用场景 | 数据代表整个总体 | 数据是从总体中抽取的样本 |
| 分母 | n | n – 1 (Bessel’s correction) |
| 方差值 | 通常较小 | 通常较大 |
| 统计学意义 | 描述整个总体的离散程度 | 估计总体方差，考虑了样本的局限性 |
选择哪个函数？
- 如果你有整个总体的数据，并且想知道总体的方差，那么使用
VAR_POP()。 - 如果你只有总体的样本数据，并且想用样本来估计总体的方差，那么使用
VAR_SAMP()。 这是更常见的情况，因为我们通常无法获得整个总体的数据。
5. 其他相关函数
除了 VAR_POP() 和 VAR_SAMP() 之外，MySQL 还提供了一些其他相关的统计函数：
- STDDEV_POP(expression): 计算总体标准差，是
VAR_POP()的平方根。 - STDDEV_SAMP(expression): 计算样本标准差，是
VAR_SAMP()的平方根。 - VARIANCE(expression):
VARIANCE()函数是VAR_SAMP()的同义词。 所以，VARIANCE(expression)和VAR_SAMP(expression)计算结果一样。 - STDDEV(expression):
STDDEV()函数是STDDEV_SAMP()的同义词。 所以，STDDEV(expression)和STDDEV_SAMP(expression)计算结果一样。 - AVG(expression): 计算平均值（均值）。 在计算方差之前，通常需要先计算平均值。
- COUNT(expression): 计算数据集中元素的数量。
示例：使用STDDEV_POP 和 STDDEV_SAMP
SELECT
VAR_POP(salary) AS population_variance,
STDDEV_POP(salary) AS population_stddev,
VAR_SAMP(salary) AS sample_variance,
STDDEV_SAMP(salary) AS sample_stddev
FROM employees;结果：
population_variance | population_stddev | sample_variance | sample_stddev
---------------------+---------------------+-----------------+------------------
200000000.0000 | 14142.1356 | 250000000.0000 | 15811.38836. 在实际应用中使用 VAR_POP() 和 VAR_SAMP()
这些函数在各种数据分析场景中都非常有用。这里提供几个例子：
- 财务分析: 评估投资组合的风险。较高的方差意味着投资组合的回报波动更大，风险更高。
- 质量控制: 监控生产过程的稳定性。如果产品尺寸的方差过大，可能表明生产过程存在问题。
- 市场营销: 分析客户行为的差异。了解不同客户群体的购买模式的方差可以帮助你更好地定制营销活动。
- 科学研究: 评估实验结果的可靠性。方差可以帮助确定实验结果是否显著，以及结果是否受到随机误差的影响。
示例：分析客户购买金额的方差
假设我们有一个名为 orders 的表，其中包含客户的订单信息：
CREATE TABLE orders (
order_id INT PRIMARY KEY,
customer_id INT,
order_amount DECIMAL(10, 2)
);
INSERT INTO orders (order_id, customer_id, order_amount) VALUES
(1, 101, 100.00),
(2, 101, 120.00),
(3, 102, 50.00),
(4, 102, 70.00),
(5, 103, 200.00),
(6, 103, 220.00);要计算每个客户的订单金额的样本方差，可以使用以下 SQL 查询：
SELECT
customer_id,
VAR_SAMP(order_amount) AS order_amount_variance
FROM orders
GROUP BY customer_id;结果：
customer_id | order_amount_variance
-------------+-----------------------
101 | 200.0000
102 | 200.0000
103 | 200.0000这个结果表明，每个客户的订单金额的样本方差都是 200。这意味着每个客户的订单金额在其平均值附近有一定的波动。 客户的订单金额方差高，意味着客户的购买行为不稳定，可能需要针对性地进行营销活动，以提高客户的忠诚度。
7. 注意事项
VAR_POP()和VAR_SAMP()函数都会忽略 NULL 值。- 如果数据集只包含一个数据点，
VAR_POP()返回 0，而VAR_SAMP()返回 NULL。 这是因为样本方差需要至少两个数据点才能进行计算。 - 当计算涉及到除法时，要小心除数为零的情况。 虽然
VAR_SAMP()在数据量为1时返回 NULL 处理了部分情况，但仍然要确保你的数据集中有足够的数据点来计算方差。 - 确保你理解你的数据代表的是总体还是样本，并选择适当的函数。错误地使用
VAR_POP()和VAR_SAMP()会导致错误的分析结果。
8. 性能考量
对于大型数据集，计算方差可能会比较耗时。因此，在实际应用中，应该考虑以下性能优化措施：
- 索引: 确保用于计算方差的列上有索引。
- 数据类型: 使用合适的数据类型。例如，如果你的数据都是整数，那么使用 INT 数据类型比使用 DECIMAL 数据类型更有效率。
- 数据预处理: 如果可能，对数据进行预处理，例如删除不必要的列或过滤掉无效数据。
- 查询优化: 使用 MySQL 的查询优化工具来优化查询。
9. 总结说明
今天我们深入学习了MySQL中的VAR_POP()和VAR_SAMP()函数。理解这两个函数的区别以及如何在实际应用中使用它们，对于数据分析至关重要。 记住，选择正确的函数取决于你的数据代表的是总体还是样本。 掌握这些统计函数，可以帮助你更好地理解你的数据，并做出更明智的决策。